2017年江苏省扬州市高考数学二模试卷

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、填空题：

1. 已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B= ．

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2. 已知复数z= $\frac{3 - i}{1 + i}$ ，其中i为虚数单位，则复数z的模是．

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3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是．

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4. 现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．
纤维长度
频数
[22.5，25.5）
3
[25.5，28.5）
8
[28.5，31.5）
9
[31.5，34.5）
11
[34.5，37.5）
10
[37.5，40.5）
5
[40.5，43.5]
4

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5. 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．

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6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．

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7. 现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．

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8. 函数f（x）= $\sqrt{\lg (5 - x^{2})}$ 的定义域是．

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9. 已知{a_n}是公差不为0 的等差数列，S_n是其前n项和，若a₂a₃=a₄a₅ ， S₉=1，则a₁的值是．

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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x﹣4）²+（y﹣8）²=1，圆C₂：（x﹣6）²+（y+6）²=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C₁和圆C₂的圆周，则圆C的方程是．

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11. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若 $\vec{A B}$ • $\vec{A D}$ =﹣7，则 $\vec{B C}$ • $\vec{D C}$ 的值是．

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12. 在△ABC中，已知AB=2，AC²﹣BC²=6，则tanC的最大值是．

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13. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} - x + m ， x < 0 \\ x^{2} - 1 ， x \geq 0 \end{cases}$ 其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．

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14. 已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是．

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二、解答题：

15. 已知sin（α+ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π）．求：

(1)、cosα的值；

(2)、sin（2α﹣ $\frac{π}{4}$ ）的值．

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16. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，A₁B与AB₁交于点D，A₁C与AC₁交于点E．求证：

(1)、DE∥平面B₁BCC₁；

(2)、平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁ ．

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17.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

(1)、若点C的坐标为（2， $\frac{5}{3}$ ），求a，b的值；

(2)、设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且 $\vec{A B}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{O C}$ ，求直线AB的斜率．

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18. 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

(1)、若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ， $\sqrt{33}$ ≈5.7446）

(2)、问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

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19. 已知函数f（x）= $\frac{1}{e^{x}}$ ，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．

(1)、求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；

(2)、若存在x₁ ， x₂（x₁≠x₂），使得g（x₁）﹣g（x₂）=λ[f（x₂）﹣f（x₁）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；

(3)、若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且满足：
①|a₁|≠|a₂|；
②r（n﹣p）S_n₊₁=（n²+n）a_n+（n²﹣n﹣2）a₁ ，其中r，p∈R，且r≠0．

(1)、求p的值；

(2)、数列{a_n}能否是等比数列？请说明理由；

(3)、求证：当r=2时，数列{a_n}是等差数列．

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21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．
求证：AD•BC=2AC•CD．

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22. 设矩阵A满足：A $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 0 & 3 \end{matrix}]$ ，求矩阵A的逆矩阵A^﹣¹ ．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 ${\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} l \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} l \end{cases}$ （l为参数）与曲线 ${\begin{cases} x = \frac{1}{8} t^{2} \\ y = t \end{cases}$ （t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．

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24. 设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证： $\frac{1}{x^{3} y}$ + $\frac{1}{y^{3} z}$ + $\frac{1}{z^{3} x}$ ≥xy+yz+zx．

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25. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

(1)、求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

(2)、假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．

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26. 设n≥2，n∈N^* ，有序数组（a₁ ， a₂ ， …，a_n）经m次变换后得到数组（b_m_，₁ ， b_m_，₂ ， …，b_m_，_n），其中b₁_，_i=a_i+a_i₊₁ ， b_m_，_i=b_m_﹣₁_，_i+b_m_﹣₁_，_i₊₁（i=1，2，…，n），a_n₊₁=a₁ ， b_m_﹣₁_，_n₊₁=b_m_﹣₁_，₁（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．

(1)、若a_i=i（i=1，2，…，n），求b₃_，₅的值；

(2)、求证：b_m_，_i= $\sum_{j = 0}^{m}$ a_i₊_jC_m^j ，其中i=1，2，…，n．
（注：i+j=kn+t时，k∈N^* ， i=1，2，…，n，则a_i₊_j=a₁）

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纤维长度	频数
[22.5，25.5）	3
[25.5，28.5）	8
[28.5，31.5）	9
[31.5，34.5）	11
[34.5，37.5）	10
[37.5，40.5）	5
[40.5，43.5]	4