2017年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x²﹣2x＞0}，则A∩B=（）

A、（2，4] B、[2，4] C、{0，3，4} D、{3，4}

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2. 设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数 $\frac{2}{z} + z^{2}$ 在复平面内对应的向量为 $\vec{O Z}$ ，则向量 $\vec{O Z}$ 的模是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．

A、14 B、12 C、8 D、10

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4. 运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、﹣3 C、3 D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ²），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）

A、5份 B、10份 C、15份 D、20份

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6. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥ $\sqrt{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）

A、点Q到平面PEF的距离 B、直线PE与平面QEF所成的角 C、三棱锥P﹣QEF的体积 D、二面角P﹣EF﹣Q的大小

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8. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{8 x^{2}}{9} + \frac{16 y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{16 y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{8 x^{2}}{9} + \frac{9 y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 y^{2}}{16} = 1$

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9. 已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， $\frac{π}{2}$ +α）上没有最小值，则ω取值范围是（）

A、（0，2） B、（0，3] C、（2，3] D、（2，+∞）

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10. 如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 $\vec{A P}$ =m $\vec{A B}$ +n $\vec{A D}$ （m，n为实数），则m+n的取值范围是（）

A、 $[1 - \frac{\sqrt{2}}{4} ， 2 + \frac{\sqrt{2}}{4}]$ B、 $[\frac{3}{4} ， 2 + \frac{\sqrt{2}}{4}]$ C、 $[\frac{3}{4} ， \frac{9}{4}]$ D、 $[1 - \frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{9}{4}]$

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11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{41 \sqrt{41}}{48} π$ B、 $\frac{41}{4} π$ C、4π D、 $\frac{4}{3} π$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \log_{2} (1 - x) + 1 ， - 1 \leq x < k \\ x^{3} - 3 x + 2 ， k \leq x \leq a \end{cases}$ ，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{3}]$ B、（0，1] C、[0，1] D、 $[1 ， \sqrt{3}]$

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二、填空题：

13. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．

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14. 已知 $(x + \frac{m}{x}) {(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为．

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15. 在直角三角形△ABC中， $C = \frac{π}{2}$ ， $| \vec{A C} | = 3$ ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 $3 \vec{M D} = \vec{M B} + 2 \vec{M A}$ ，则 $\vec{C D} \cdot \vec{C A}$ = ．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，对任意n∈N₊ ， S_n=（﹣1）ⁿa_n+ $\frac{1}{2^{n}}$ +n﹣3且（t﹣a_n₊₁）（t﹣a_n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．

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三、解答题：

17. 如图，在△ABC中，∠B=30°，AC= $\sqrt{5}$ ，D是边AB上一点．

(1)、求△ABC面积的最大值；

(2)、若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．

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18. 2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；

(3)、若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知抛物线E：y²=8x，圆M：（x﹣2）²+y²=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、点Q（x₀ ， y₀）（x₀≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．

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21. 已知函数f（x）=ax²﹣（2a﹣1）x﹣lnx．

(1)、当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；

(2)、当a＜0时，求函数f（x）在 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上的最小值；

(3)、记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 \cos θ \\ y = 2 + 2 \sin θ \end{cases}$ （θ为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}$ （t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．

(1)、写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．

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23. 在平面直角坐标系中，定义点P（x₁ ， y₁）、Q（x₂ ， y₂）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．

(1)、若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；

(2)、当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

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