2017年安徽省示范高中皖北协作区高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知i是虚数单位，则| $\frac{(- 1 + i) (1 + i)}{i^{3}}$ |=（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 已知集合A={y|y= $\sqrt{x^{2} - 1}$ }，B={x|y=lg（x﹣2x²）}，则∁_R（A∩B）=（）

A、[0， $\frac{1}{2}$ ） B、（﹣∞，0）∪[ $\frac{1}{2}$ ，+∞） C、（0， $\frac{1}{2}$ ） D、（﹣∞，0]∪[ $\frac{1}{2}$ ，+∞）

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3. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4 $\sqrt{5}$ ，则抛物线C的方程为（）

A、x²=8y B、x²=4y C、x²=2y D、x²=y

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4. 设点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、[2，+∞） C、（ $\frac{1}{3}$ ，2） D、[ $\frac{1}{3}$ ，2]

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5. 已知在各棱长都为2的三棱锥A﹣BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，则三棱锥Q﹣APR的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$

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6. 若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）

A、（0，2） B、[ $\frac{3}{2}$ ，2） C、（0， $\frac{3}{2}$ ] D、[2，+∞）

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7. 如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是14，则判断框内填入的条件可以是（）

A、S≥10？ B、S≥14？ C、n＞4？ D、n＞5？

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8. 若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某随机变量Y近似服从正态分布N（2，σ²），若P（Y＞3）=0.1587，则P（Y＜0）=（）

A、0.0013 B、0.0228 C、0.1587 D、0.5

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9. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣x，则函数f（x）在[0，2017]上的零点个数是（）

A、1008 B、1009 C、2017 D、2018

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）

A、24π B、29π C、48π D、58π

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11. 数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n ，已知 $\frac{n a_{n + 1}}{a_{n}}$ $- \frac{(n + 1) a_{n}}{a_{n + 1}}$ =1，且a₁= $\frac{π}{3}$ ，则tanS_n的取值集合是（）

A、{0， $\sqrt{3}$ } B、{0， $\sqrt{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ } C、{0， $\sqrt{3}$ ，﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ } D、{0， $\sqrt{3}$ ，﹣ $\sqrt{3}$ }

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12. 已知F₁ ， F₂是双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F₂是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C₁与抛物线C₂在第一象限内的交点，线段PF₂的中点为M，且|OM|= $\frac{1}{2}$ |F₁F₂|，其中O为坐标原点，则双曲线C₁的离心率是（）

A、2+ $\sqrt{3}$ B、1+ $\sqrt{2}$ C、2+ $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．

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14. 设M是△ABC边BC上的任意一点， $\vec{A N}$ = $\frac{1}{3} \vec{N M}$ ，若 $\vec{A N}$ =λ $\vec{A B}$ +μ $\vec{A C}$ ，则λ+μ= ．

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15. 江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序多药效的影响，则总共要进行次试验．

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16. 定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x₁ ， x₂∈I总有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ）≥ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理：
判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f（x）的导函数f′（x）的导数．
性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x₁ ， x₂ ， …，x_n ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ≥f（ $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ ）．
请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为．

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三、解答题

17. 如图，∠BAC= $\frac{2 π}{3}$ ，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且PA⊥AC，AP= $\sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）若AB=3，求PC；
（Ⅱ）求 $\frac{1}{P B}$ $+ \frac{1}{P C}$ 的取值范围．

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18. 2016年美国总统大选过后，有媒体从某公司的全体员工中随机抽取了200人，对他们的投票结果进行了统计（不考虑弃权等其他情况），发现支持希拉里的一共有95人，其中女员工55人，支持特朗普的男员工有60人．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表：据此材料，是否有95%的把握认为投票结果与性别有关？
支持希拉里
支持特朗普
合计
男员工
女员工
合计
（Ⅱ）若从该公司的所有男员工中随机抽取3人，记其中支持特朗普的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．（用相应的频率估计概率）
附：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d）

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4}$ $+ \frac{y^{2}}{3}$ =1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．

(1)、设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；

(2)、设 $\vec{N A}$ =λ $\vec{A M}$ ， $\vec{N B}$ =μ $\vec{B M}$ ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）设函数g（x）= $\frac{f (x)}{x - 1}$ ，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，求证：x₁+x₂ $> \frac{2}{e}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{cases} x = - 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{cases}$ （t为参数，α∈[0，π）），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与C₂交于A，B两点，且|AB|＞ $\sqrt{7}$ ，求α的取值范围．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

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	支持希拉里	支持特朗普	合计
男员工
女员工
合计

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828