2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} = x} ， N = {x | \frac{x}{x - 1} \geq 0}$ ，则M∩N=（）

A、∅ B、{0} C、{1} D、{0，1}

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2. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ 的共轭复数是（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、﹣i D、i

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4. 对于函数f（x）=atanx+bx³+cx（a、b、c∈R），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）

A、2和1 B、2和0 C、2和﹣1 D、2和﹣2

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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6. 将函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个周期后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{5 π}{12})$ C、 $y = 2 \sin (2 x \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x \frac{π}{12})$

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7. 已知当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1；当x≥1时，f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．若对任意x₁≠x₂ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的取值范围是（）

A、（1，2） B、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 2)$ D、（0，1）∪（2，+∞）

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8. 已知α是第一象限角，满足 $\sin α - \cos α = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则cos2α=（）

A、﹣ $\frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\pm \frac{4}{5}$

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9. 已知 $f (x) = \frac{x^{2} + 33}{x} (x \in N *)$ ，则f（x）在定义域上的最小值为（）

A、 $\frac{58}{5}$ B、 $\frac{23}{2}$ C、 $\sqrt{33}$ D、 $2 \sqrt{33}$

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10. 若x，y满足约束条件 ${\begin{cases} y \geq x \\ x + y \geq 1 \\ 2 x + 3 y \geq 3 \end{cases}$ 则z=3x+4y的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{21}{5}$

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11. 设函数f（x）= $\frac{a x + b}{x^{2} + c}$ 的图象如图，则a，b，c满足（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、b＞a＞c D、b＞c＞a

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12. 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log₂x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ，1） C、（1，2） D、（2，3）

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二、填空题：

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（2，﹣m），且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ = ．

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14. 曲线y=sinx+e^x在点（0，1）处的切线方程是．

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15. 设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α= ．

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16. 若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，则不等式 $f (x) > \frac{2}{e^{x}} + 1$ （其中e为自然对数的底数）的解集为．

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三、解答题：

17. 在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若 $cosBcosC - s i n B s i n C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3} ， b + c = 4$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知等差数列{a_n}前n项和为S_n ，且 $S_{n} = n^{2} + c$ （n∈N^*）．
（Ⅰ）求c，a_n；
（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列{b_n}前n项和T_n ．

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19. 某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
M
900
700
300
100
y
0.5
3.5
6.5
9.5
哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：
M
[0，200]
（200，400]
（400，600]
（600，800]
（800，1000]
频数
3
6
12
6
3

(1)、设x= $\frac{M}{1000}$ ，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；
（参考公式： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \hat{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\bar{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(2)、小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．

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20. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x²﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣ax²（a∈R）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 选修4﹣1：平面几何
如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
（I）求证：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF= $\sqrt{3}$ ，EA=2AC，求AF的长．

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23. 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C： ${\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{cases}$ （α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

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24. 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．

(1)、求不等式f（x）＞2的解集；

(2)、∀x∈R，使f（x）≥t²﹣ $\frac{11}{2}$ t，求实数t的取值范围．

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M	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
频数	3	6	12	6	3

M	900	700	300	100
y	0.5	3.5	6.5	9.5