2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²＜4}，B={x∈Z|﹣3≤x＜1}，则A∩B=（）

A、{﹣2，﹣1，0} B、（﹣1，0） C、{﹣1，0} D、（﹣3，﹣2）

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2. 命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）

A、∃x∈R，sinx≤1 B、∀x∈R，sinx＞1 C、∃x∈R，sinx=1 D、∀x∈R，sinx≤1

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3. 函数y= $\begin{array}{l} 2 k - (k + 2) \frac{4 k (k + 1)}{2 k (k + 2)} = - 2 \frac{}{2} \sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{- x^{2} - x + 2}}{\ln x} \end{array}$ 的定义域为（）

A、（﹣2，1） B、[﹣2，1] C、（0，1） D、（0，1]

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4. 定积分 $\int \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}$ x²dx=（）

A、0 B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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5. 函数f（x）=log₂x﹣ $\frac{7}{x}$ 的零点包含于区间（　　）

A、（1，2） B、（2，3） C、（3，4） D、（4，+∞）

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6. 已知a=0.3^0.3 ， b=1.2^0.3 ， c=log_1.20.3，则a，b，c的大小关系为（）

A、c＜a＜b B、c＜b＜a C、a＜b＜c D、a＜c＜b

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7. 已知命题p：不等式ax²+ax+1＞0的解集为R，则实数a∈（0，4）；命题q“x²﹣2x﹣8＞0”是“x＞5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）

A、p∧q B、p∧（￢q） C、（￢p）∧（￢q） D、（￢p）∧q

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8. 已知f（x）= $\sqrt{4 - x^{2}}$ ，g（x）=|x﹣2|，则下列结论正确的是（）

A、h（x）=f（x）+g（x）是偶函数 B、h（x）=f（x）•g（x）是奇函数 C、h（x）= $\frac{g (x) \cdot f (x)}{2 - x}$ 是偶函数 D、h（x）= $\frac{f (x)}{2 - g (x)}$ 是奇函数

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9. 函数y= $\frac{1}{\sin x - x}$ 的一段大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（）

A、0 B、﹣4 C、﹣8 D、﹣16

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11. 若函数f（x）=e^x（x²+ax+b）有极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），且f（x₁）=x₁ ，则关于x的方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为（）

A、0 B、3 C、4 D、5

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12. 定义区间[x₁ ， x₂]的长度为x₂﹣x₁（x₂＞x₁）单调递增），函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x}$ （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、﹣3 C、1 D、3

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二、填空题

13. $\frac{\lg 8 + \lg 125 - \lg 2 - \lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}$ = ．

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14. 函数f（x）= ${\begin{cases} 1 - \log_{2} (2 - x) (x < 2) \\ 2^{1 - x} + \frac{3}{2} (x \geq 2) \end{cases}$ ，则f（f（3））= ．

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15. 设函数f（x）= $\frac{{(x + 2)}^{2} + \sin x}{x^{2} + 4}$ 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．

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三、解答题

17. 设p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数f（x）=（ $\frac{1}{2}$ ）^ax ， a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．

(1)、求a的值；

(2)、若g（x）=4^﹣^x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．

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19. 已知三次函数f（x）=x³+bx²+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．

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20. 已知函数f（x）满足 $f (\log_{a} x) = \frac{a}{a^{2} - 1} (x - x^{- 1})$ （其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，求a的取值范围．

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21. 设 $f (x) = \frac{(x + a) \ln x}{x + 1}$ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．

(1)、求a的值；

(2)、若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．

(3)、求证： $\ln \sqrt[4]{2 n + 1} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{4 i^{2} - 1} (n \in N *)$ ．

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22. 如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

(1)、求证：DE是圆O的切线；

(2)、若∠CAB=60°，⊙O的半径为2，EC=1，求DE的值．

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23. 在平面直角坐标系中，直线l过点P（2， $\sqrt{3}$ ）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣ $\frac{π}{3}$ ），直线l与曲线C相交于A，B两点；

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若 $| A B | = \sqrt{13}$ ，求直线l的倾斜角α的值．

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24. 设函数f（x）=|2x﹣7|+1．

(1)、求不等式f（x）≤x的解集；

(2)、若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．

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