2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x|y= $\sqrt{(1 - x) (x + 3)}$ }，B={x|log₂x≤1}，则A∩B=（）

A、{x|﹣3≤x≤1} B、{x|0＜x≤1} C、{x|﹣3≤x≤2} D、{x|x≤2}

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2. 复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=1， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，且（ $\vec{a}$ + $λ \vec{b}$ ）⊥（2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），则实数λ的值为（）

A、﹣7 B、﹣3 C、2 D、3

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 2 \leq 0 \\ \begin{array}{l} 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array} \end{matrix}$ ，则z=x﹣y的最小值为（）

A、﹣3 B、1 C、﹣2 D、2

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5. 公差为1的等差数列{a_n}中，a₁ ， a₃ ， a₆成等比数列，则{a_n}的前10项和为（）

A、65 B、80 C、85 D、170

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6. 若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象过点（ $\frac{π}{6}$ ，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）

A、x= $\frac{π}{12}$ B、x= $\frac{5 π}{12}$ C、x= $\frac{π}{6}$ D、x= $\frac{π}{3}$

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7. （x²+2）（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁶的展开式中常数项为（　　）

A、﹣40 B、﹣25 C、25 D、55

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、6 D、4 $\sqrt{3}$

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9. 4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（　　）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{9}{64}$ D、 $\frac{3}{64}$

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10. 点S、A、B、C在半径为 $\sqrt{2}$ 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 $\frac{1}{2}$ ， AB=BC=CA= $\sqrt{3}$ ，则点S与△ABC中心的距离为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 过点（0，2b）的直线l与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A、（1，2] B、（2，+∞） C、（1，2） D、（1， $\sqrt{2}$ ]

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12. 函数f（x）=lnx﹣ax²+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、（0，1） B、（﹣∞，1） C、（﹣∞， $\frac{1 + e}{e^{2}}$ ） D、（0， $\frac{1 + e}{e^{2}}$ ）

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二、填空题：

13. 已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3^x ．则f（1）的值为．

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14. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）

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15. 过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．

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16. 数列{a_n}满足a_n= ${\begin{cases} n^{2} ， a_{n - 1} < n^{2} \\ 2 a_{n - 1} ， a_{n - 1} \geq n^{2} \end{cases}$ （n≥2），若{a_n}为等比数列，则a₁的取值范围是．

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三、解答题：

17. 如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．

(1)、求cos∠B的值；

(2)、求sin∠BAC的值和边BC的长．

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18. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响．

(1)、求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；

(2)、该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．

(1)、求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)、若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线x+y+ $\sqrt{3}$ =0与椭圆E仅有一个公共点．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、直线l被圆O：x²+y²=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=（x+1）e^x和函数g（x）=（e^x﹣a）（x﹣1）²（a＞0）（e为自然对数的底数）．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；

(3)、若函数g（x）存在极值为2a² ，求a的值．

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22. 如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．
（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{cases}$ （t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ= $\frac{p}{1 - \cos θ}$ （p＞0）．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| O A |}$ + $\frac{1}{| O B |}$ 的值．

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24. 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．

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