2011年江苏省南京市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-05-18 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $\sqrt{9}$ 的值等于（）

A、3 B、﹣3 C、±3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、a²+a³=a⁵ B、a²•a³=a⁶ C、a³+a²=a D、（a²）³=a⁶

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3. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为（）

A、0.736×10⁶人 B、7.36×10⁴人 C、7.36×10⁵人 D、7.36×10⁶人

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4. 为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）

A、随机抽取该校一个班级的学生 B、随机抽取该校一个年级的学生 C、随机抽取该校一部分男生 D、分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生

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5.
如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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6.
如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则a的值是（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、2+ $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2+ $\sqrt{3}$

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二、填空题

7. ﹣2的相反数是

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8. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1= ．

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9. 计算（ $\sqrt{2}$ +1）（2﹣ $\sqrt{2}$ ）= ．

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10. 等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为 cm．

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11. 如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．

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12. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm² ．

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13. 如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为．

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14. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（ 0°＜α＜180°），则∠α= ．

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15. 设函数y= $\frac{2}{x}$ 与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则 $\frac{1}{a}$ ﹣ $\frac{1}{b}$ 的值为

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16. 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为．

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{cases} 5 + 2 x \geq 3 \\ \frac{x + 1}{3} > \frac{x}{2} \end{cases}$ ，并写出不等式组的整数解．

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18. 计算（ $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ ﹣ $\frac{1}{a + b}$ ）÷ $\frac{b}{b - a}$ ．

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19. 解方程：x²﹣4x+1=0．

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20. 某校部分男生分3组进行引体向上训练．对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．

(1)、求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；

(2)、小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均成绩不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；

(3)、你认为哪一组的训练效果最好？请提供一个解释来支持你的观点．

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21. 如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

(1)、求证：△ABF≌△ECF；

(2)、若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

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22. 小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．

(1)、小亮行走的总路程是 m，他途中休息了 min；

(2)、①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

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23. 从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：

(1)、抽取1名，恰好是女生；

(2)、抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．

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24. 已知函数y=mx²﹣6x+1（m是常数）．

(1)、求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

(2)、若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

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25.
如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度．他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

(1)、当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

(2)、已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

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27. 如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

(1)、如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；

(2)、在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

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28. 【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+ $\frac{a}{x}$ ）（x＞0）．
【探索研究】

(1)、我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；
x
…
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
…
y
…
…
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的最小值．

(2)、用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

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x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…								…