2011年江苏省常州市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-05-17 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 在下列实数中，无理数是（）

A、2 B、0 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、a²•a³=a⁶ B、y³÷y³=y C、3m+3n=6mn D、（x³）²=x⁶

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3. 已知某几何体的一个视图（如图），则此几何体是（）

A、正三棱柱 B、三棱锥 C、圆锥 D、圆柱

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4. 某地区有8所高中和22所初中．要了解该地区中学生的视力情况，下列抽样方式获得的数据最能反映该地区中学生视力情况的是（）

A、从该地区随机选取一所中学里的学生 B、从该地区30所中学里随机选取800名学生 C、从该地区一所高中和一所初中各选取一个年级的学生 D、从该地区的22所初中里随机选取400名学生

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= $\sqrt{5}$ ，BC=2，则sin∠ACD的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P₁ ，作P₁关于点B的对称点P₂ ，作点P₂关于点C的对称点P₃ ，作P₃关于点D的对称点P₄ ，作点P₄关于点A的对称点P₅ ，作P₅关于点B的对称点P₆┅，按如此操作下去，则点P₂₀₁₁的坐标为（）

A、（0，2） B、（2，0） C、（0，﹣2） D、（﹣2，0）

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7. 已知二次函数 $y = - x^{2} + x - \frac{1}{5}$ ，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y₁、y₂ ，则y₁、y₂必须满足（）

A、y₁＞0、y₂＞0 B、y₁＜0、y₂＜0 C、y₁＜0、y₂＞0 D、y₁＞0、y₂＜0

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二、填空题

8. 计算： $- (- \frac{1}{2})$ =； $| - \frac{1}{2} |$ =； ${(- \frac{1}{2})}^{0}$ =； ${(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ = ．

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9.

(1)、计算：（x+1）²=；

(2)、分解因式：x²﹣9= ．

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10. 若∠α的补角为120°，则∠α= ， sinα= ．

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11. 已知关于x的方程x²+mx﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是．

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12. 已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 cm，面积是 cm² ．

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13. 某市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为：25、28、30、29、31、32、28，这周的日最高气温的平均值是℃，中位数是℃．

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14. 如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC= ， CD= ．

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15. 已知关于x的一次函数y=kx+4k﹣2（k≠0）．若其图象经过原点，则k= ，若y随着x的增大而减小，则k的取值范围是．

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16. 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为．

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三、解答题

17. ①计算： $\sin 45^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt[3]{8}$ ；
②化简： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ ．

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18. ①解分式方程 $\frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x - 2}$ ；
②解不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 < 6 (x + 3) \\ 5 (x - 1) - 6 \geq 4 (x + 1) \end{matrix}$ ．

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四、解答题

19. 某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足球、篮球、排球、其它等四个方面调查了若干名学生，并绘制成“折线统计图”与“扇形统计图”．请你根据图中提供的部分信息解答下列问题：

(1)、在这次调查活动中，一共调查了名学生；

(2)、“足球”所在扇形的圆心角是度；

(3)、补全折线统计图．

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20. 甲、乙、丙三个布袋都不透明，甲袋中装有1个红球和1个白球；乙袋中装有一个红球和2个白球；丙袋中装有2个白球．这些球除颜色外都相同．从这3个袋中各随机地取出1个球．
（Ⅰ）取出的3个球恰好是2个红球和1个白球的概率是多少？
（Ⅱ）取出的3个球全是白球的概率是多少？

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21. 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．

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22. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

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23. 如图，在△ABO中，已知点 $A (\sqrt{3} ， 3)$ 、B（﹣1，﹣1）、O（0，0），正比例函数y=﹣x图象是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C．

(1)、C点的坐标为；

(2)、以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（90°≤α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′．
①∠α=；②画出△A′OB′．

(3)、写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标．

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24. 已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．

(1)、图形①中∠B=°，图形②中∠E=°；

(2)、小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，
需要这种纸片张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）

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25. 某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₁（千克）与x的关系为y₁=﹣x²+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y₂（千克）与t的关系为y₂=at²+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y₂
21
44
69

(1)、求a、b的值；

(2)、若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

(3)、问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

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26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 的图象是直线l₁ ， l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

(1)、写出A点的坐标和AB的长；

(2)、当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

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27. 在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．

(1)、若点E与点P重合，求k的值；

(2)、连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；

(3)、是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

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t	1	2	3
y₂	21	44	69