湖北省重点高中联考协作体2018-2019学年高二上学期理数12月月考试卷

试卷更新日期：2019-05-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $1, 2, 3, 4, 5$ 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）

A、36个 B、24个 C、18个 D、6个

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2. 在 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{10}$ 的展开式中，x⁴的系数为（）

A、－120 B、120 C、－15 D、15

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3. 已知ξ的分布列为：

ξ

1

2

3

4

$P$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

$m$

则Dξ等于（）

A、 $\frac{29}{12}$ B、 $\frac{131}{144}$ C、 $\frac{11}{144}$ D、 $\frac{179}{144}$

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4. 在如下的列联表中，类1中类B所占的比例为（）

Ⅱ

类1

类2

Ⅰ

类A

a

b

类B

c

d

A、 $\frac{c}{a + c}$ B、 $\frac{c}{c + d}$ C、 $\frac{b}{a + b}$ D、 $\frac{b}{b + c}$

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5. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R²如下，其中拟合效果最好的是（　　）

A、模型1的相关指数R²为0.78 B、模型2的相关指数R²为0.85 C、模型3的相关指数R²为0.61 D、模型4的相关指数R²为0.31

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6. 下列命题中正确的是（）

A、“ $m = \frac{1}{2}$ ”是“直线 $(m + 1) x + 3 m y + 1 = 0$ 与直线 $(m - 2) x + (m + 2) y - 3 = 0$ 相互平行”的充分不必要条件 B、“直线 $l$ 垂直平面 $α$ 内无数条直线”是“直线 $l$ 垂直于平面 $α$ ”的充分条件 C、已知 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ 为非零向量，则“ $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c}$ ”是“ $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{c}$ ”的充要条件 D、 $p :$ $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2013 \leq 0$ 则 $\neg p :$ $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2013 > 0$

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7. 已知命题“如果 $- 1 \leq a \leq 1$ 那么关于 $a$ 的不等式 $(a^{2} - 4) x^{2} + (a + 2) x - 1 \geq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）

A、个 B、1个 C、2个 D、4个

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8. 设随机变量 $ξ ～ B (2, p)$ ， $η ～ B (4, p)$ ，若 $P (ξ \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $P (η \geq 2)$ 的值为（）

A、 $\frac{32}{81}$ B、 $\frac{11}{27}$ C、 $\frac{65}{81}$ D、 $\frac{16}{81}$

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9. “ $x < - 1$ ”是“ $x^{2} + x > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 某厂生产的零件外直径 $ξ \sim N (10 ， 0.04)$ ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 $9.9 c m$ 和 $9.3 c m$ 则可认为（）

A、上午生产情况正常，下午生产情况异常 B、上午生产情况异常，下午生产情况正常 C、上、下午生产情况均正常， D、上、下午生产情况均异常

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11. 已知p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中，错误的是（）

A、 $p$ 或 $q$ 为真,非 $q$ 为假 B、 $p$ 或 $q$ 为真,非 $p$ 为真 C、 $p$ 且 $q$ 为假,非 $p$ 为假 D、 $p$ 且 $q$ 为假, $p$ 或 $q$ 为真

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12. 设 $a, b \in R$ ，现给出下列五个条件：① $a + b = 2;$ ② $a + b > 2;$ ③ $a + b > - 2;$ ④ $a b > 1;$ ⑤ ${log}_{a} b < 0$ ，其中能推出：“ $a, b$ 中至少有一个大于 $1$ ”的条件为（）

A、②③④ B、②③④⑤ C、①②③⑤ D、②⑤

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二、填空题

13. 在 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots \dots + {(1 + x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是.

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14. 若“ $\forall x \in [0, \frac{π}{4}]$ ， $tan x - 1 \leq m$ ”是真命题，则实数 $m$ 的最小值为.

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15. 用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种。

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16. 为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合： $A = {x | \frac{□ x - 1}{x} < 0} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0} ，$ $C = {x | {log}_{\frac{1}{2}} x 〉 1}$ ；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“ $□$ ”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：
甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；

丙：A是C成立的必要不充分条件

若老师评说这三位同学都说得对，则“ $□$ ”中的数为。

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17. 设 $a_{n} (n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ 是 ${(3 - \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中 $x$ 的一次项的系数，则 $\frac{3^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{3^{18}}{a_{18}} =$ ．

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三、解答题

18. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

(1)、从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)、若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

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19. 某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.01$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$

(1)、（i）求出表中的

x ， y

的值；

（ii）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；

(2)、根据表格统计的数据，完成下面的

2 \times 2

的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关.（不支持包括无所谓和反对）

	高一年级	高二年级	总计
支持
不支持
总计

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20. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理﹑化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

(1)、求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)、设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列.

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21. 设 $p ：$ 实数 $x$ 满足 $(x - 2 a) (x - a) < 0$ ， $q ：$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} + 5 x + 6 > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $p \lor q$ 为真，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $a < 0$ 时，若 $p$ 是 $\neg q$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.
（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；

（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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ξ	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$m$

		Ⅱ
		类1	类2
Ⅰ	类A	a	b
Ⅰ	类B	c	d