安徽省马鞍山市2019届高三文数一模试卷

试卷更新日期：2019-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap^{} B = ($ $)$

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | x ⩽ 0}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x ⩽ 0}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，若 $\frac{2 - i}{a + i}$ 为纯虚数，则复数 $z = 2 a + \sqrt{2} i$ 的模等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{11}$

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3. 同时掷两枚骰子，则向上的点数和是9的概率为（）

A、 $\frac{1}{36}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 $($ $)$

A、 $(2 + \sqrt{2}) π$ B、 $(2 + 2 \sqrt{2}) π$ C、 $(4 + \sqrt{2}) π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{2}) π$

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5. 某数学教师为了解 $A$ 、 $B$ 两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示．设 $A$ 、 $B$ 两班的平均成绩分别为 $\bar{x_{A}} ， \bar{x_{B}}$ ，中位数分别为 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ ，则 $($ $)$

A、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}} ， m_{A} > m_{B}$ B、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}} ， m_{A} > m_{B}$ C、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}} ， m_{A} < m_{B}$ D、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}} ， m_{A} < m_{B}$

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6. 若函数 $y = sin (x + φ)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则函数 $y = cos (x + φ)$ 的一条对称轴为 $($ $)$

A、 $x = - \frac{π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{4}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{7} = 8 a_{4}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、7 D、31

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8. 等边 $Δ A B C$ 的边长为1， $D, E$ 是边 $B C$ 的两个三等分点，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A E}$ 等于（）

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} + x^{2} - 2 | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 $x^{2} + （ y ﹣ 2 ）^{2} ＝ 4$ 所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C ⊥ B D$ ， $A B = A D = B D = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积为 $($ $)$

A、 $36 π$ B、 $\frac{256 π}{3}$ C、 $\frac{500 π}{3}$ D、 $288 π$

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12. 若函数 $f (x) = l n (x - 1) + \frac{2}{x} - a x (a > 0)$ 恰有一个零点，则实数 $a$ 的值为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{e}$ D、 $e$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{matrix} x ⩾ 2 \\ x + y - 6 ⩽ 0 \\ 2 y - x ⩾ 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{y + 1}{x - 6}$ 的最大值为．

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14. 若函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则不等式 $f (2 x + 1) + f (x - 2) > 0$ 的解集为．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于点 $M$ ，若 $F$ 为 $A M$ 的中点，则 $| A B | =$ ．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a^{2} + b^{2} + a b = 4$ ， $c = 2$ ，则 $2 a + b$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, (n + 1) a_{n} = 1 - \frac{1}{n a_{n - 1} + 1} (n ⩾ 2, n \in N)$ ．

(1)、求 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、求证：数列 ${\frac{1}{(n + 1) a_{n}}}$ 为等差数列；

(3)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有73人更爱看综艺类节目，另外27人更爱看体育类节目；男同学中有42人更爱看综艺类节目，另外58人更爱看体育类节目．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

临界值表：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.025	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据以上数据填好如下

2 \times 2

列联表：

	综艺类	体育类	总计
女
男
总计

(2)、试判断是否有

99.9 %

的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $P B ⊥ A E$ ， $E$ 为 $C D$ 中点， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2 A D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $P A E ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $P B = P D = 2$ ，求三棱锥 $P - A D E$ 的体积．

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $M (4 ， 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k \neq 0$ 时，若点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$ ，直线 $B P$ 交 $x$ 轴于 $N$ ，证明： $| O N |$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = a x (x + 1) l n x - x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1$ ， $f$ （1） $)$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [1$ ， $+ \infty)$ 时， $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，将椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (sin θ - 2 cos θ) = 1$ ．

(1)、写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (1 ， 3)$ 且直线l与曲线C交于A、B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | 2 x - 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 5$ ；

(2)、若 $\exists x_{0} \in [1, + \infty)$ ，使 $f (x_{0}) + m \leq x_{0} + \frac{3}{x_{0}}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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