安徽省巢湖市2019届高三理数三月份联考试卷

试卷更新日期：2019-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {x | x 〉 a}$ ，若 $A \cap^{} B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. “ ${\begin{matrix} x > a \\ y > b \end{matrix}$ ”是“ ${\begin{matrix} x + y > a + b \\ x y > a b \end{matrix}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图 $.2018$ 年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为 $($ $)$

A、100000元 B、95000元 C、90000元 D、85000元

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4. 已知 $tan α = 3$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin 2 α + cos (π - α)$ 的值为 $($ $)$

A、 $\frac{6 - \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{6 + \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{5 - \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{10}}{10}$

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5. 若 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 x})}^{8} (a x - 1)$ 展开式中含 $x^{\frac{1}{2}}$ 项的系数为21，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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6. 如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $\frac{3}{2} π$

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7. 函数 $f (x) = sin x^{2} + cos x$ 的部分图象符合的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， $A$ 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 $X$ 分， $B$ 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 $Y$ 分，则 $D (Y) - D (X)$ 的值为（）

A、 $\frac{125}{12}$ B、 $\frac{35}{12}$ C、 $\frac{27}{4}$ D、 $\frac{23}{4}$

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9. 已知锐角 $△ A B C$ 的角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $c = 1$ ，三角形ABC的面积 $S_{△ A B C} = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围为 $($ $)$

A、 $[\frac{17}{2} ， + \infty)$ B、 $(9 ， + \infty)$ C、 $[\frac{17}{2} ， 9]$ D、 $[\frac{17}{2} ， 9)$

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，过 $B$ 点作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，以 $B D$ 为折痕将 $Δ A B D$ 折起使点 $A$ 到达点 $P$ 处，满足平面 $P B D ⊥$ 平面 $B D C$ ，则三棱锥 $P - B D C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $16 π$ C、 $48 π$ D、 $\frac{481}{25} π$

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作其渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，交双曲线 $C$ 右支于点 $P$ ，若 $\overset{⇀}{F_{2} P} = 2 \overset{⇀}{P M}$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知数列： $\frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2^{2}}$ ， $\frac{2}{2^{2}}$ ， $\frac{3}{2^{2}}$ ； $\frac{1}{2^{3}}$ ， $\frac{2}{2^{3}}$ ，…， $\frac{7}{2^{3}}$ ；…， $\frac{1}{2^{n}}$ ， $\frac{2}{2^{n}}$ ， $\frac{3}{2^{n}}$ ，… $\frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ ；…，则此数列的前2036项之和为（）

A、1024 B、2048 C、1018 D、1022

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2)$ ，若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与向量 $\vec{c}$ 共线，则实数k的值为．

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14. 曲线 $f (x) = a ln x$ 在点 $P (e, f (e))$ 处的切线经过点 $(- 1, - 1)$ ，则 $a$ 的值为．

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15. 若函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (0 < ω < 1)$ 在区间 $(π, 2 π)$ 内有最值，则 $ω$ 的取值范围为．

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16. 如图， $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一个动点，过点 $P$ 作圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则当四边形 $P A C B$ 面积最大时， $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的值为．

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三、解答题

17. 已知平面向量 $a = (sin x ， 2 \sqrt{3} cos x)$ ， $b = (2 sin x ， sin x)$ ，函数 $f (x) = a \cdot b + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，若 $f (A) = 4$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组 $[30 ， 35)$ ，第二组 $[35 ， 40)$ ，第三组 $[40 ， 45)$ ，第四组 $[45 ， 50)$ ，第五组 $[50 ， 55)$ ，第六组 $[55 ， 60]$ ，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.
①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；

②设 $ξ$ 为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 2$ ，公差为 $d (d \in N^{*}) .$

(1)、若 $a_{5} = 30$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在d ， n使 $S_{n} = 10$ 成立？若存在，试找出所有满足条件的d ， n的值，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，在梯形 $A B C P$ 中， $C P / / A B$ ， $C P ⊥ B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} C P$ ， $D$ 是 $C P$ 的中点，将 $Δ P A D$ 沿 $A D$ 折起得到图（二），点 $M$ 为棱 $P C$ 上的动点.

(1)、求证：平面 $A D M ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，二面角 $P - A D - C$ 为 $135 °$ ，点 $M$ 为 $P C$ 中点，求二面角 $M - A C - D$ 余弦值的平方.

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21. 已知抛物线E： $y^{2} = 4 x$ ，圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ．

(1)、若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；

(2)、在 $(1)$ 的条件下，若直线l交抛物线E于A ， B两点，x轴上是否存在点 $M (t, 0)$ 使 $∠ A M O = ∠ B M O (O$ 为坐标原点 $)$ ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = (4 + a x) ln (x + 2) - 2 x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，证明： $f (x) \leq 4 ln 2$ ；

(2)、已知 $g (x) = 4 ln (x + 2) - 2 x + x^{2}$ ，若函数 $G (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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