云南省2019届高三文数第二次复习统一检测试卷

试卷更新日期：2019-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $S = {- 4, - 3, 6, 7}$ ， $T = {x | x^{2} 〉 4 x}$ ，则 $S \cap^{} T =$ （）

A、 ${6, 7}$ B、 ${- 3, 6, 7}$ C、 ${- 4, 6, 7}$ D、 ${- 4, - 3, 6, 7}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，设 $z = 1 + \frac{2 + i}{i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $P (3, 4)$ 是角 $α$ 的终边上的点，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、0或1或-2 B、1或2 C、1或-2 D、-2

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $n$ 的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $8 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 4 \sqrt{3}$ D、10

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7. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生（）

A、200人 B、300人 C、320人 D、350人

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8. 已知直线 $l$ ： $x + a y - 1 = 0$ 是圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的对称轴，过点 $A (- 4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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9. 已知点 $O (0, 0)$ ， $A (- 1, 3)$ ， $B (2, - 4)$ ， $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O A} + m \overset{⇀}{A B}$ .若点 $P$ 在 $y$ 轴上，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，若球 $O$ 的表面积为 $72 π$ ，则这个直三棱柱的体积是（）

A、16 B、15 C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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11. 若椭圆 $E$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线 $\frac{x^{2}}{16^{2}} - \frac{y^{2}}{15^{2}} = 1$ 的一条渐近线与椭圆 $E$ 在第一象限交于点 $P$ ，线段 $P F_{2}$ 的中点的纵坐标为0，则椭圆 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 已知 $a = 3^{ln \frac{1}{2}}$ ， $b = {log}_{24} 25$ ， $c = {log}_{25} 26$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与平面向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $sin θ = \frac{\sqrt{14}}{4}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x$ 在 $[- m ， m]$ 上是单调递增函数，则 $f (2 m)$ 的取值范围为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ，则使 $a_{n} \leq 10 n$ 成立的 $n$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a sin B - \sqrt{3} b cos A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，当 $Δ A B C$ 的面积最大时，求 $b$ ， $c$ .

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18. 在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评.下表是被抽检到的5所学校

A

、

B

、

C

、

D

、

E

的教师和学生的测评成绩（单位：分）：

学校	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
教师测评成绩 $x$	90	92	93	94	96
学生测评成绩 $y$	87	89	89	92	93

(1)、建立

y

关于

x

的回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、现从

A

、

B

、

C

、

D

、

E

这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，求

A

、

B

两所学校至少有1所被选到的概率

P

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $∠ B B_{1} C_{1} = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $B C = 4$ ，求点 $C_{1}$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离 $h$ .

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20. 已知 $O$ 是坐标原点，抛物线 $C$ ： $x^{2} = y$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为1的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $Q$ 为抛物线 $C$ 的准线上一点，且 $∠ A Q B = \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $Q$ 点的坐标；

(2)、设与直线 $l$ 垂直的直线与抛物线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，过点 $M$ 、 $N$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $P$ ，若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $Δ M O N$ 外接圆的标准方程.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ .

(1)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $e^{x} > x^{2}$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有极大值，求 $a$ 的取值范围；

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ 在曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = k c o s φ \\ y = m s i n φ \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数）上，对应参数为 $φ = \frac{π}{3}$ .以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 $P$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{6})$ .

(1)、直接写出点 $P$ 的直角坐标和曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 是曲线 $C$ 上的两个动点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 1 |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2$ ；

(2)、设 $a > 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 5 \leq a x$ 的解集非空，求 $a$ 的取值范围.

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