2016-2017学年山东省淄博市高青一中高二下学期开学数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-15 类型：开学考试

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一、选择题

1. 在△ABC中，已知A=30°，a=8，b= $8 \sqrt{3}$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $32 \sqrt{3}$ B、16 C、 $32 \sqrt{3}$ 或16 D、 $32 \sqrt{3}$ 或 $16 \sqrt{3}$

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2. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₂+a₈=15﹣a₅ ，则S₉的值为（）

A、60 B、45 C、36 D、18

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3. 已知等比数列{a_n}的公比q=2，则 $\frac{{2a}_{1} {+a}_{2}}{2 a_{3} {+a}_{4}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、1

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4. 在等比数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n ，若数列{a_n+1}也是等比数列，则S_n等于（）

A、2ⁿ⁺¹﹣2 B、3n C、2n D、3ⁿ﹣1

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5. 若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b+1}{a+1}$ B、a+ $\frac{1}{a}$ ＞b+ $\frac{1}{b}$ C、a+ $\frac{1}{b}$ ＞b+ $\frac{1}{a}$ D、 $\frac{2a+b}{a+2b} > \frac{a}{b}$

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - y \geq - 1 \\ x + y \geq 1 \\ 3 x - y \leq 3 \end{cases}$ ，则目标函数z=4x+y的最大值为（）

A、4 B、11 C、12 D、14

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7. “α= $\frac{π}{6}$ +2kπ（k∈Z）”是“cos2α= $\frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若直线l的方向向量为 $\vec{b}$ ，平面α的法向量为 $\vec{n}$ ，则可能使l∥α的是（）

A、 $\vec{b}$ =（1，0，0）， $\vec{n}$ =（﹣2，0，0） B、 $\vec{b}$ =（1，3，5）， $\vec{n}$ =（1，0，1） C、 $\vec{b}$ =（0，2，1）， $\vec{n}$ =（﹣1，0，﹣1） D、 $\vec{b}$ =（1，﹣1，3）， $\vec{n}$ =（0，3，1）

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9. 已知 $\vec{a}$ =（cosα，1，sinα）， $\vec{b}$ =（sinα，1，cosα），则向量 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、90° B、60° C、30° D、0°

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10. 过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（）

A、10 B、9 C、8 D、6

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11. 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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12. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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二、填空题

13. 已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a²+3b²﹣3c²+2ab=0，则tan C= ．

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14. 观察下面的数阵，第20行最左边的数是．

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2} +12}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4 - m^{2}}$ =1的焦距是．

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16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若△ABC面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，c=2，A=60°，求a，b及角C的值．

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18. 已知正项数列{a_n}的前n和为S_n ，且 $\sqrt{S_{n}}$ 是 $\frac{1}{4}$ 与（a_n+1）²的等比中项．

(1)、求证：数列{a_n}是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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19. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= $\frac{1}{2}$ AD．

(1)、求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(2)、证明平面AMD⊥平面CDE；

(3)、求锐二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

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20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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