2016-2017学年河南省驻马店市正阳二中高二下学期开学数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-15 类型：开学考试

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一、选择题

1. 数列{a_n}的前n项和S_n=3n²﹣5n，则a₆的值为（）

A、78 B、58 C、50 D、28

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2. 不等式2x²﹣x﹣3＞0的解集为（）

A、 ${x | x > \frac{3}{2} 或 x < - 1}$ B、 ${x | - 1 < x < \frac{3}{2}}$ C、 ${x | - \frac{3}{2} < x < 1}$ D、 ${x | x > 1 或 x < - \frac{3}{2}}$

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3. 设数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=1+ $\frac{1}{a_{n - 1}}$ （n＞1），则a₃=（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 在△ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则S_△_ABC=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\frac{1}{2} (\sqrt{3} + 1)$

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5. 若不等式（m﹣1）x²+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）

A、[1，9） B、[2，+∞） C、（﹣∞，1] D、[2，9]

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 2 \\ 2 x + y \leq 4 \\ 4 x - y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， 6]$ B、 $[- \frac{3}{2} ， - 1]$ C、[﹣1，6] D、 $[- 6 ， \frac{3}{2}]$

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7. 在命题“若抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，则集合{x|ax²+bx+c＜0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）

A、都真 B、都假 C、否命题真 D、逆否命题真

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过圆Q：x²+y²﹣4x+6y=0的圆心，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、3

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9. 下列命题中正确的是（）

A、若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B、“ $s i n α = \frac{1}{2}$ ”是“ $α = \frac{π}{6}$ ”的充分不必要条件 C、l为直线，α，β，为两个不同的平面，若l⊥α，α⊥β，则l∥β D、命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“∃x₀∈R， $2^{x_{0}}$ ≤0”

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10. 一个空间几何体的正视图，侧视图如图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（）

A、6 $\sqrt{3}$ cm² B、8 $\sqrt{3}$ cm² C、10 $\sqrt{3}$ cm² D、20cm²

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11. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A}$ = $\vec{c}$ ．则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、﹣ $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$

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12. 方程（x﹣ $\sqrt{- y^{2} + 2 y + 8}$ ） $\sqrt{x - y}$ =0表示的曲线为（）

A、一条直线和一个圆 B、一条射线与半圆 C、一条射线与一段劣弧 D、一条线段与一段劣弧

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二、填空题

13. 在△ABC中， $c o s A = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，C=150°，BC=1，则AB= ．

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14. 如果直线L₁：y=2x+1与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相交于A、B两点，直线L₂与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则L₂的方程是．

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15. 已知抛物线y=﹣x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|= ．

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16. 函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为．

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三、解答题

17. 已知命题p：“1≤x≤5是x²﹣（a+1）x+a≤0的充分不必要条件”，命题q：“满足AC=6，BC=a，∠CAB=30°的△ABC有两个”．若￢p∧q是真命题，求实数a的取值范围．

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18. 已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a c o s B + \sqrt{3} b \sin A = c$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1， $\vec{A B} • \vec{A C} = 3$ ，求b+c的值．

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19. 已知双曲线C的方程为： $\frac{x^{2}}{9}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{16}$ =1

(1)、求双曲线C的离心率；

(2)、求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 $\sqrt{3}$ ）的双曲线的方程．

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20. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ 中，AA₁=AB=AC=1，E，F分别是CC₁、BC 的中点，AE⊥
A₁B₁ ， D为棱A₁B₁上的点．

(1)、证明：DF⊥AE；

(2)、是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

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21. 已知动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣ $\frac{1}{4}$ ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F（﹣ $\sqrt{3}$ ，0）的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线l的方程．

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22. 已知函数f（x）=xlnx

(1)、求f（x）的极值

(2)、当 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{1}{e} ， 1)$ 且x₁＜1﹣x₂时，求证：lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）

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