广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期文数3月联合调研考试试卷

试卷更新日期：2019-04-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} < 1}$ ， $B = {x | x \geq - 1}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1]$

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2. 已知复数 $z = 4 - \frac{3}{i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、4 B、3 C、5 D、2

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3. $a = {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{4} 3$ ， $c = {log}_{6} 3$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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4. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{10} = 16$ ， $S_{7} = 14$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、3 C、6 D、2

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5. 已知 $2 sin (\frac{π}{4} + α) = \sqrt{3}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位： $^{\circ} C$ ）数据，绘制如下折线图：

那么，下列叙述错误的是（）

A、各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B、全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C、全年中各月最低气温平均值不高于 $10^{\circ} C$ 的月份有5个 D、从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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8. 函数 $f (x) = \frac{ln | x + 1 |}{x + 1}$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 - m$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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10. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + ϕ) (ϕ \in R)$ ，若 $f (\frac{π}{3} - x) = f (x)$ ，且 $f (π) > f (\frac{π}{2})$ ，则函数 $f (x)$ 取得最大值时 $x$ 的可能值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11. 已知 $A, B, C$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上三个不同的点， $O$ 为坐标原点，若 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = 0$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

12. 已知 $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 2$ ，则向量 $(2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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13. 已知 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 5 ， \\ x - y \leq 2 ， \\ x \leq 6 ， \end{matrix}$ 则 $z = x + y$ 的最大值为．

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14. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C$ ， $D B = D C$ ， $A B + D B = 4$ ， $A B ⊥ B D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的体积的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = f (x) + a (a \in R)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. $Δ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin A sin B + b {cos}^{2} A = \sqrt{2} a$ .

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $c^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ，求 $B$ .

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17. 某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图.）（学习时间均在

[0 ， 6]

内）

男生周日学习时间频数表

学习时间	$[0 ， 1)$	$[1 ， 2)$	$[2 ， 3)$	$[3 ， 4)$	$[4 ， 5)$	$[5 ， 6]$
频数	8	10	7	9	4	2

女生周日学习时间频率分布直方图

(1)、根据调查情况，该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；

(2)、从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在

[5 ， 6]

内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

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18. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A A_{1} = 4$ ， $B C = 2$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = 60^{\circ}$ ， $P$ 为线段 $A B$ 的中点，求三棱锥 $B - P A_{1} C_{1}$ 的体积.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，过点 $A (- 2, 4)$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $B$ 、 $C$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，点 $P (\frac{1}{2}, 0)$ .

(1)、求 $tan ∠ P A O$ 的值；

(2)、若 $Δ P A B$ ， $Δ P B C$ ， $Δ P A C$ 的面积成等比数列，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a + 1}{x} - a ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、讨论 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的零点个数.

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21. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + t, \\ y = 7 + \sqrt{3} t, \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sqrt{a^{2} {sin}^{2} θ + 4 {cos}^{2} θ} = 2 a (a > 0)$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0, 4)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $| P M | \cdot | P N | = 14$ ，求 $a$ 的值.

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22. 选修4-5：不等式选讲
设函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x + 2 b^{2} | (a, b \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $b = 0$ ，求 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为8，求 $a + 2 b$ 的最大值.

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