安徽省马鞍山市2019届高三理数第一次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2019-04-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 〉 0}$ ， $B = {x | ln x 〉 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap^{} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $(1 ， 4]$ D、 $(4 ， + \infty)$

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2. 已知 $z_{1} = 1 + 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 的虚部为（）

A、 $- 8 i$ B、 $- 8$ C、 $- \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = \frac{1}{8} ， S_{3} - a_{1} = \frac{3}{4}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $\frac{31}{32}$ B、 $\frac{31}{16}$ C、 $\frac{31}{8}$ D、 $\frac{31}{4}$

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4. 某班男生与女生各一组进行古诗词默写比赛，两组每个同学得分的茎叶图如图所示，男生组和女生组得分的平均数分别为 $\bar{x_{1}} 、 \bar{x_{2}}$ ，标准差分别为 $s_{1}$ 、 $s_{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}} ， s_{1} > s_{2}$ B、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}} ， s_{1} < s_{2}$ C、 $\bar{x_{1}} 〈 \bar{x_{2}} ， s_{1} 〉 s_{2}$ D、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}} ， s_{1} < s_{2}$

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5. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 1 \\ y \leq x + 1 \\ y \geq 1 - x \end{matrix}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值与最小值之和为（）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、6 D、7

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6. $(x - 1) {(2 x + 1)}^{10}$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为（）

A、 $- 512$ B、1024 C、4096 D、5120

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7. 已知函数 $f (x) = sin 2 x + cos 2 x$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心是（）

A、 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ C、 $(\frac{5 π}{8} ， 0)$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{2}{3} π$ B、 $8 - π$ C、 $8 - \frac{4}{3} π$ D、 $8 - 2 π$

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9. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} + x^{2} - 2 | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ B D$ ， $A B = A D = B D = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积（）

A、 $\frac{100}{3} π$ B、 $36 π$ C、 $100 π$ D、 $144 π$

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11. 倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线l经过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点 $F_{2}$ ，则此双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$

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12. 1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机 $.1674$ 年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念 $.$ 之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究 $.$ 研究方法如下：对于正整数 $n$ ， $x (x \geq 2)$ ，我们准备 $n x$ 张不同的卡片，其中写有数字0，1，…， $x - 1$ 的卡片各有 $n$ 张 $.$ 如果用这些卡片表示 $n$ 位 $x$ 进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示 $x^{n}$ 个不同的整数 $($ 例如 $n = 3$ ， $x = 10$ 时，我们可以表示出 $000 \dots 999$ 共 $10^{3}$ 个不同的整数 $) .$ 假设卡片的总数 $n x$ 为一个定值，那么 $x$ 进制的效率最高则意味着 $n x$ 张卡片所表示的不同整数的个数 $x^{n}$ 最大 $.$ 根据上述研究方法，几进制的效率最高？ $($ 　　 $)$

A、二进制 B、三进制 C、十进制 D、十六进制

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{\frac{1}{3}} ， x \leq 0 \\ {(\frac{1}{3})}^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f [- f (- 27)] =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ，单位向量 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{b}$ 的坐标为．

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15. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F为椭圆 $\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作 $A B ⊥ l$ ，垂足为B ，若直线BF的斜率 $k_{B F} = - \sqrt{3}$ ，则 $△ A F B$ 的面积为．

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16. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} + 2 T_{n} = 1$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 中最接近2019的是第项 $.$

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A为锐角， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、设D为AC的中点，求BD的长度；

(2)、求 $sin C$ 的值．

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18. 田忌赛马是

《

史记

》

中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等

.

于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注

.

假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：

田忌的马 $/$ 获胜概率 $/$ 公子的马	上等马	中等马	下等马
上等马	$0.5$	$0.8$	1
中等马	$0.2$	$0.5$	$0.9$
下等马	0	$0.05$	$0.4$

比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．

(1)、如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；

(2)、如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．

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19. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ ， $A C = A A_{1} = 4$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求证：面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = 60^{\circ}$ ，在线段 $A C$ 上是否存在一点 $P$ ，使二面角 $B - A_{1} P - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，确定点 $P$ 的位置；若不存在，说明理由

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20. 已知椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且短轴长为4．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ，若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切，且交椭圆E于C、D两点，记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，记 $△ B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} S_{2}$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} ， x < 0 \\ \frac{x}{e^{x}} + a x^{2} - 2 a x ， x \geq 0 \end{matrix}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，将椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (sin θ - 2 cos θ) = 1$ ．

(1)、写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (1 ， 3)$ 且直线l与曲线C交于A、B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | 2 x - 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 5$ ；

(2)、若 $\exists x_{0} \in [1 ， + \infty)$ ，使 $f (x_{0}) + m \leq x_{0} + \frac{3}{x_{0}}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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