安徽省淮南市2019届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $P = {x | - 1 < x < 1}$ ， $Q = {x | - 2 < x < \frac{1}{2}}$ ，则 $P \cup^{} Q = ($ 　　 $)$

A、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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2. $\frac{1 + 2 i}{- 2 + i} = ($ 　　 $)$

A、 $- 1 + \frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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3. 函数 $f (x) = x^{2} (e^{x} - e^{- x})$ 的大致图象为 $($ 　　 $)$

A、 B、 C、 D、

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4. ${(2 x + \sqrt{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是 $($ 　　 $)$

A、40 B、60 C、80 D、100

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5. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos 2A=0，a=7，c=6，则b等于（）

A、10 B、9 C、8 D、5

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6. 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3， $\vec{C P}$ =3 $\vec{P D}$ ， $\vec{A P}$ · $\vec{B P}$ =2，则 $\vec{A B}$ ⋅ $\vec{A D}$ 的值是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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7. 如图为我国数学家赵爽 $($ 约3世纪初 $)$ 在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 $A ， C$ 区域涂色不相同的概率为 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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8. 已知函数 $f (x) = x ln x$ ，若直线 $l$ 过点 $(0 ， - e)$ ，且与曲线 $y = f (x)$ 相切，则直线 $l$ 的斜率为 $($ 　　 $)$

A、 $- 2$ B、2 C、 $- e$ D、 $e$

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9. 已知奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 4)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 4^{x}$ ，则 $f ({log}_{4} 184) = ($ 　　 $)$

A、 $- \frac{32}{23}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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10. 已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点， $l$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + \frac{1}{3} S_{△ I F_{1} F_{2}}$ 成立，则双曲线的渐近线方程为 $($ 　　 $)$

A、 $2 \sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $8 x \pm y = 0$ C、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ D、 $3 x \pm y = 0$

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11. 如图是函数 $y = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的图象，将该图象向右平移 $| m | (m < 0)$ 个单位后，所得图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $m$ 的最大值为 $($ 　　 $)$

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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12. 在平面直角坐标系中，设点 $P (x ， y)$ ，定义 $[O P] = | x | + | y |$ ，其中 $O$ 为坐标原点，对于下列结论：
$(1)$ 符合 $[O P] = 2$ 的点 $P$ 的轨迹围成的图形面积为8；

$(2)$ 设点 $P$ 是直线： $\sqrt{3} x + 2 y - 2 = 0$ 上任意一点，则 ${[O P]}_{m i n} = 1$ ；

$(3)$ 设点 $P$ 是直线： $y = k x + 1 (k \in R)$ 上任意一点，则使得“ $[O P]$ 最小的点有无数个”的充要条件是 $k = 1$ ；

$(4)$ 设点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 ${[O P]}_{m a x} = \sqrt{10}$ ．

其中正确的结论序号为 $($ 　　 $)$

A、 $(1) (2) (3)$ B、 $(1) (3) (4)$ C、 $(2) (3) (4)$ D、 $(1) (2) (4)$

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二、填空题

13. 若直线 $x - m y + m = 0$ 经过抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，则 $p =$ ．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ y + 2 \geq 0 \\ x + y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 ${(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2}$ 的最小值为．

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，若点 $(n, a_{n}) (n \in N^{*})$ 在经过点 $(4, 8)$ 的定直线 $l$ 上，则数列 ${a_{n}}$ 的前7项和 $S_{7} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + t f (x) - \frac{12}{e^{2}} = 0 (t \in R)$ 有 $m$ 个不同的实数解，则 $m$ 的所有可能的值构成的集合为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 9$ ， $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} \neq a_{1} ($ 当 $n \geq 2$ 时 $)$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市 $($ 简称创文 $)$ ”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为： $①$ 调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分； $②$ 采用百分制评分， $[60 ， 80)$ 内认定为满意，80分及以上认定为非常满意； $③$ 市民对公交站点布局的满意率不低于 $60 %$ 即可进行验收； $④$ 用样本的频率代替概率．

(1)、求被调查者满意或非常满意该项目的频率；

(2)、若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；

(3)、已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占 $\frac{1}{3}$ ，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记 $ξ$ 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E ξ$ ．

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19. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，且 $A C = \sqrt{3}$ ， $A D = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，且 $cos ∠ B O C = - \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $sin ∠ B A C$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过点 $A$ 与 $A F_{2}$ 垂直的直线交 $x$ 轴负半轴于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{1} Q} + \vec{F_{1} F_{2}} = \vec{0}$ ，过 $A ， Q$ ， $F_{2}$ 三点的圆恰好与直线 $l ： x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 相切．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，问在 $x$ 轴上是否存在点 $P (m ， 0)$ ，使得以 $P M ， P N$ 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 $m$ 的取值范围；如果不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 ln x$ (其中 $a$ 是实数)

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若设 $2 (e + \frac{1}{e}) < a < \frac{20}{3}$ ，且 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 取值范围.(其中 $e$ 为自然对数的底数)

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22. 已知直线 $l$ 过点 $P (1, 0)$ ，且倾斜角为 $α$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ$ ．

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标系方程及直线 $l$ 的参数方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的最大值和最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{1}{m} + \frac{1}{n} (m, n > 0)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $m + n$ 的最小值.

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