浙江省2019届高考数学模拟卷（一）

试卷更新日期：2019-04-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 1}$ ， $B = {x | x \leq 0}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[- 1, 0]$ D、 $[0, 1]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，在复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $-i$ B、1 C、-1 D、 $i$

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3. 已知 $P (1, \sqrt{3})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 渐近线上的点，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - 3 \leq 0 \\ 2 x - 3 y + 3 \geq 0 \\ y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、1 B、 $9$ C、 $- 15$ D、 $- 9$

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5. 已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ．设条件 $p : 0 < r < 3$ ，条件 $q :$ 圆 $C$ 上至多有 $2$ 个点到直线 $x - \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的距离为 $1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + θ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 后得到偶函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为（）

A、 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6}]$

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7. 如图，已知函数 $f (x)$ 的图像关于坐标原点对称，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} ln | x |$ B、 $f (x) = x ln x$ C、 $f (x) = \frac{e^{| x |}}{x}$ D、 $f (x) = \frac{ln | x |}{x}$

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8. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0)$ 上的可导函数，其导函数为 $f' (x)$ ，且有 $2 f (x) + x f' (x) > x^{2}$ ，则不等式 ${(x + 2018)}^{2} f (x + 2018)$ $- 4 f (- 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2020, 0)$ B、 $(- \infty, - 2020)$ C、 $(- 2016, 0)$ D、 $(- \infty, - 2016)$

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9. 定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足对 $\forall x \in R$ ，有 $f (x + 2) = f (x) - f (1)$ ，且当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 18$ ，若函数 $y = f (x) - \log_{a} (| x | + 1)$ 至少有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{6})$

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{D B}$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B}$ ，若 $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{A P} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 ， \\ {log}_{2} (x + 1) ， x > 0 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (- 3)) =$ ， $f (x)$ 的最小值为．

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12. 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为 $ς$ ，则 $ς = 1$ 的概率是；随机变量 $ς$ 期望是.

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13. 设 ${(\sqrt{2} + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{2} =$ ，（ $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{10})^{2}$ $- {(a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{9})}^{2}$ 的值为．

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14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为；体积为.
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15. 某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．

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16. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + b x + a y - 3 = 0$ （ $a, b$ 为正实数）上任意一点关于直线 $l$ ： $x + y + 2 = 0$ 的对称点都在圆 $C$ 上，则 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为．

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17. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角 $Q - P D - A$ 的平面角大小为 $\frac{π}{4}$ ，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} < S_{2})$ 的两部分，则 $S_{1} ： S_{2}$ = ．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{3}$ .

(1)、求该函数图象的对称轴；

(2)、在 $Δ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,且满足 $b^{2} = a c$ ,求 $f (B)$ 的取值范围.

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19. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $A B C E$ 为菱形， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ， $P A = A B$ ， $G$ 、 $F$ 分别是线段 $C E$ 、 $P B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $F G ∥$ 平面 $P D C$ ；

（Ⅱ）求二面角 $F - C D - G$ 的正切值.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 之间满足 $a_{n} = \frac{2 S_{n}^{2}}{2 S_{n} - 1} (n \geq 2)$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设存在正数 $k$ ，使 $(1 + S_{1}) (1 + S_{2}) \dots (1 + S_{n})$ $\geq k \sqrt{2 n + 1}$ 对任意 $n \in N_{+}$ 都成立，求 $k$ 的最大值.

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21. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上纵坐标为 $- p$ 的点 $M$ 到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求 $p$ 的值；

（Ⅱ）如图， $A ， B ， C$ 为抛物线上三点，且线段 $M A ， M B ， M C$ 与 $x$ 轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若 $△ A M B$ 的面积是 $△ B M C$ 面积的 $\frac{1}{2}$ ，求直线 $M B$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = (2 - a) ln x + \frac{1}{x} + 2 a x (a \leq 0)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a < 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $a \in (- 3 ， - 2)$ ， $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 3]$ ，恒有 $(m + ln 3) a - 2 ln 3 > | f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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