广东省天河区普通高中2019届文数毕业班综合测试卷（二)

试卷更新日期：2019-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = m (m - 1) + (m + 1) i$ 是纯虚数，其中m是实数，则 $\frac{1}{z}$ = （）

A、i B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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2. 已知全集 $U = R$ ， $M = {x | x < - 1}$ ， $N = {x | x (x + 2) < 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 36$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8} =$ （）

A、63 B、45 C、39 D、27

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4. 为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度 $($ 单位长度： $c m)$ ，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）

A、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

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5. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且 $M F ⊥ x$ 轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则 $p =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} + \vec{A C} | = \sqrt{3} | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 3$ ，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = ($ 　　 $)$

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $- \frac{9}{2}$

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7. 已知命题p：若 $a = {0.2}^{0.2}$ ， $b = {1.2}^{0.2}$ ， $c = {log}_{1.2} 0.2$ ，则 $a < c < b$ ：命题q：“ $x - 2 \geq 0$ ”是“ $x - 2 > 0$ ”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (￢ q)$ C、 $(￢ p) \land (￢ q)$ D、 $(￢ p) \land q$

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8. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{3} ， 0)$ ，其相邻一条对称轴方程为 $x = \frac{7 π}{12}$ ，该对称轴处所对应的函数值为 $- 1$ ，为了得到 $g (x) = cos 2 x$ 的图象，则只要将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是 $1$ 为首项， $2$ 为公差的等差数列， ${b_{n}}$ 是 $1$ 为首项， $2$ 为公比的等比数列，设 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n}$ ， $(n \in N *)$ ，则当 $T_{n} < 2019$ 时， $n$ 的最大值是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 在同意直角坐标系中，函数 $y = a x^{2} - x + \frac{a}{2} 与 y = a^{2} x^{3} - 2 a x^{2} + x + a (a \in R)$ 的图像不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为e，过点 $F_{1}$ 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2} = 150^{\circ}$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $7 - 2 \sqrt{3}$ B、 $7 - \sqrt{3}$ C、 $7 + \sqrt{3}$ D、 $7 + 2 \sqrt{3}$

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12. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) + 1 > 0$ ， $f (3) = - ln 3$ ，则不等式 $f (e^{x}) + x > 0$ 的解集为（）

A、 $(e^{3} ， + \infty)$ B、 $(0 ， e^{3})$ C、 $(ln 3 ， + \infty)$ D、 $(ln 3 ， e^{3})$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 y + 5 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \geq 0 \\ y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值为．

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14. 设定义在R上的函数满足 $f (x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [- 1, 1)$ 时， $f (x) = {\begin{cases} {log}_{2} x, 0 < x < 1 \\ f (2^{x}), - 1 \leq x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ ．

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15. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} S_{n + 1} = - a_{n + 1} (n \in N *)$ ，则 $a_{10} =$ ．

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16. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的体积为2， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其斜边 $A C = 2$ ，且三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(2 a + c) cos B + b cos C = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，点D在AC边上，且 $B D ⊥ A C$ ， $B D = \frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求c边的长．

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18. $《$ 汉字听写大会 $》$ 不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试 $.$ 现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组 $[160 ， 164)$ ，第2组 $[164 ， 168)$ ， $\dots$ ，第6组 $[180 ， 184)$ ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)、若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

(2)、试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；

(3)、已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．

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19. 如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面 $B D E F ⊥$ 平面ABC， $∠ F B D = 60^{\circ}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、若点M是线段BF的中点，证明： $B F ⊥$ 平面AMC；

(2)、求六面体ABCEF的体积．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为A，上顶点为B，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $△ A B F_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求 $△ M N F_{2}$ 内切圆半径的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 1)$ ， $a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + \frac{a}{e^{x}}$ ，且 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是曲线 $y = g (x)$ 上的任意两点，若对任意的 $a \leq - 1$ ，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = s i n α \end{matrix} (a$ 为参数 $)$ ，以 $o$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} t (t \in R)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $π \leq α \leq 2 π$ ，当曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 有两个公共点时，求t的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | 2 x + 3 | + m (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ，都有 $f (x) \geq x + \frac{2}{x}$ 恒成立，求m的取值范围．

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