广东省广州市天河区2019届高三理数毕业班综合测试卷（一)

试卷更新日期：2019-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = 2^{x}, x \in R}, B = {x | x^{2} - 1 < 0},$ 则 $A \cup^{} B$ =（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 若复数满足 $i \cdot z = - 1 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于 $($ 　　 $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100)$ ，若低于60分的人数是30人，则该班的学生人数是 $($ 　　 $)$

A、45 B、50 C、75 D、100

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4. 已知偶函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = - \sqrt{x}$ ，当 $x \in [2 ， + \infty)$ 时， $f (x) = {log}_{2} x$ ，则 $f (- 4) + f (- \frac{1}{4}) = ($ 　　 $)$

A、 $- 4$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 若向量 $\vec{a} = (x + 1, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, - 1)$ 平行，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ＝（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 若数列 ${b_{n}}$ 满足： $\frac{b_{1}}{2} + \frac{b_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{2^{n}} = 2 n (n \in N *)$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 为 $($ 　　 $)$

A、 $2^{n + 1}$ B、 $4 \cdot 2^{n} - 4$ C、 $2^{n + 2} - 2$ D、 $2^{n + 2} - 4$

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7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{20 π}{3}$

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8. 在区间 $[0 ， 1]$ 上随机取两个数 $x ， y$ ，记 $p_{1}$ 为事件“ $x + y \geq \frac{1}{2}$ ”的概率， $p_{2}$ 为事件“ $| x - y | \leq \frac{1}{2}$ ”的概率， $p_{3}$ 为事件“ $x y \leq \frac{1}{2}$ ”的概率，则（）

A、 $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ B、 $p_{2} < p_{3} < p_{1}$ C、 $p_{3} < p_{1} < p_{2}$ D、 $p_{3} < p_{2} < p_{1}$

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9. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ，且 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6})$ 等于（）

A、 $\frac{- 4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$

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10. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ ，直线 $l : k x - y + 2 - 2 k = 0$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，则当 $Δ A B C$ 面积最大时，直线 $l$ 的斜率 $k =$ （）

A、1 B、6 C、1或7 D、2或6

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11. 如图，点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列四个结论：

$①$ 三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变；

$② A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ；

$③ D P ⊥ B C_{1}$ ；

$④$ 平面 $P D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ ．

其中正确的结论的个数是 $($ 　　 $)$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 若函数 $F (x) = 2^{x} \cdot f (x)$ ，当 $F (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有M性质，下列函数中具有M性质的函数为 $($ 　　 $)$

A、 $f (x) = 2 e^{- x}$ B、 $f (x) = x^{2} + 4$ C、 $f (x) = 3 x$ D、 $f (x) = x^{3}$

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二、填空题

13. 已知 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N *)$ 展开式中二项式系数的和为512，则该展开式中常数项为．

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = 0$ ，公差 $d \neq 0$ ，若 $a_{m} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots \dots + a_{20}$ ，则 $m =$ ．

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15. 如果一个三位数abc同时满足 $a > b$ 且 $b < c$ ，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是．

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16. 已知点A是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足 $| P A | = m | P B |$ ，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $2 b - c = 2 a cos C$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $2 (b + c) = 3 b c$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积S．

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18. 如图所示， $P A ⊥$ 平面ABCD， $△ A B C$ 为等边三角形， $P A = A B$ ， $A C ⊥ C D$ ，M为AC的中点．

(1)、证明： $B M / /$ 平面PCD；

(2)、若PD与平面PAC所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求二面角 $C - P D - M$ 的余弦值．

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19. 2017年12月11日广州国际马拉松赛后，某机构用“10分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数 $($ 以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 $)$ ：

(1)、指出这组数据的众数和中位数；

(2)、若满意度不低于 $9.5$ 分，则称该被调查者的满意度为“极满意” $.$ 求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率；

(3)、以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体 $($ 人数很多 $)$ 任选3人，记 $ξ$ 表示抽到“极满意”的人数，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2} b^{2}$ ．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、四边形ABCD内接于椭圆， $A B / / C D .$ 记直线AD，BC的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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21. 设函数 $f (x) = - a ln x + x^{2} - (a - 2) x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 6 y - 1 = 0$ 垂直，求实数a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数 $) .$ 在极坐标系 $($ 与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴 $)$ 中，圆C的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} sin θ$ ．

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为 $(1, \sqrt{5})$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 1 | + 2$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \geq a^{2} - a - 2$ 在R上恒成立，求实数a的取值范围．

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