广东省广州市天河区2019届高三毕业班理数综合测试（二)

试卷更新日期：2019-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $M = {x | x < - 1}$ ， $N = {x | x (x + 2) < 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1}$

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2. 若复数 $z = m (m - 1) + (m + 1) i$ 是纯虚数，其中m是实数，则 $\frac{1}{z}$ = （）

A、i B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 36$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} = ($ 　　 $)$

A、144 B、81 C、45 D、63

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4. 设函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{3})$ 的一个零点为 $π$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3} ， π)$ 上单调递减

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5. 下列说法中，正确的是（）

A、命题“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题是真命题 B、命题“存在 $x \in R, x^{2} - x > 0$ ”的否定是：“任意 $x \in R, x^{2} - x \leq 0$ ” C、命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的充分不必要条件

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6. 若函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足 $2 f (x) - g (x) = e^{x}$ ，则 $($ 　　 $)$

A、 $f (- 2) < f (- 3) < g (- 1)$ B、 $g (- 1) < f (- 3) < f (- 2)$ C、 $f (- 2) < g (- 1) < f (- 3)$ D、 $g (- 1) < f (- 2) < f (- 3)$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} + \vec{A C} | = \sqrt{3} | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 3$ ，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = ($ 　　 $)$

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $- \frac{9}{2}$

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8. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有 $($ 　　 $)$

A、360种 B、300种 C、150种 D、125种

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9. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

$①$ 直线BE与直线CF异面； $②$ 直线BE与直线AF异面； $③$ 直线 $E F / /$ 平面PBC； $④$ 平面 $B C E ⊥$ 平面PAD．

其中正确的结论个数为 $($ 　　 $)$

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = 3 B$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(1 ， 2]$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为e，过点 $F_{1}$ 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2} = 150^{\circ}$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $7 - 2 \sqrt{3}$ B、 $7 - \sqrt{3}$ C、 $7 + \sqrt{3}$ D、 $7 + 2 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f' (1) e^{x - 1} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为 $($ 　　 $)$

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量 $($ 单位：万人 $)$ 的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论正确是 $($ 填序号 $)$ ．

$①$ 月接待游客量逐月增加； $②$ 年接待游客量逐年增加；

$③$ 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份；

$④$ 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．

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14. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且 $M F ⊥ x$ 轴 $.$ 若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则 $p =$ ．

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15. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的体积为2， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其斜边 $A C = 2$ ，且三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $c + 2 \sqrt{3} cos C = 2 b$ ， $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} < 2$ ， $a_{n} > 0$ ， $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2$ ， $n \in N *$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对 $\forall n \in N *$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前2n项的和 $T_{2 n}$ ．

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18. 如图，已知等边 $Δ A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边的中点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 边上一点，且 $C N = \frac{1}{4} B C$ ，将 $Δ A E F$ 沿 $E F$ 折到 $Δ A' E F$ 的位置，使平面 $A' E F ⊥$ 平面 $E F C B$ .

（Ⅰ）求证：平面 $A' M N ⊥$ 平面 $A' B F$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E - A' F - B$ 的余弦值.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F与椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点重合，且点F关于直线 $y = x$ 的对称点在椭圆上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $Q (0, - \frac{1}{3})$ 且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = a x ln x - b x (a, b \in R)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程为 $y = 3 x - e$ ．

(1)、求a，b的值及函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $m \in Z .$ 且 $f (x) - m (x - 1) > 0$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求m的最大值．

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21. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = cos α \\ y = sin α \end{cases}$ $(α$ 为参数 $)$ ，以 $o$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} t (t \in R)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $π \leq α \leq 2 π$ ，当曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 有两个公共点时，求t的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | 2 x + 3 | + m (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ，都有 $f (x) \geq x + \frac{2}{x}$ 恒成立，求m的取值范围．

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