上海市青浦区2019届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {y | y = \sqrt{x}}$ ， $B = {y | y = {log}_{2} x}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 ${2}$ D、 ${(4, 2)}$

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2. 已知 $△ ABC$ 是斜三角形，则“ $A > B$ ”是“ $| t a n A | > | t a n B |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知曲线 $Γ : {\begin{matrix} x = 3 s e c θ \\ y = t a n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 是参数），过点 $P (6, 2)$ 作直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 有且仅有一个公共点，则这样的直线 $l$ 有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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4. 等差数列 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} (n \in N^{*})$ ,满足
$| a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} | = | a_{1} + 1 | + | a_{2} + 1 | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} + 1 |$

$= | a_{1} + 2 | + | a_{2} + 2 | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} + 2 | = | a_{1} + 3 | + | a_{2} + 3 | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} + 3 | = 2010$ ，则（）

A、 $n$ 的最大值为50 B、 $n$ 的最小值为50 C、 $n$ 的最大值为51 D、 $n$ 的最小值为51

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二、填空题

5. 不等式 $\frac{1}{x} > 2$ 的解集是

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6. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 + 4 i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\overset{⇀}{a}$ 在 $x$ 轴、y轴正方向上的投影分别是 $- 3$ 、4，则与 $\overset{⇀}{a}$ 同向的单位向量是

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8. 在 ${(1 - x)}^{6}$ 的二项展开式中，含有 $x^{3}$ 项的系数为（结果用数值表示）

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 ${\frac{x}{4}}^{2} - y^{2} = 1$ 经过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点，则 $p =$

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10. 已知 $E$ 、 $F$ 是互斥事件， $P (E) = 0.2$ ， $P (E \cup^{} F) = 0.8$ ，则 $P (F) =$

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11. 函数 $y = | sin x + arcsin x |$ 的最大值为.

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12. 若实数 $x$ 、y满足条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为

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13. 已知 $a$ 、b、 $c$ 都是实数，若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & x \leq a \\ \frac{1}{x} + b & a < x < c \end{matrix}$ 的反函数的定义域是 $(- \infty, + \infty)$ ，则 $c$ 的所有取值构成的集合是

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14. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ （ $a ， b \in R$ ），在区间 $(0 ， 1)$ 内有两个零点，则 $3 a + b$ 的取值范围是

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16. 已知 $O$ 为 $△ ABC$ 的外心， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $\overset{⇀}{B O} = λ \overset{⇀}{B A} + μ \overset{⇀}{B C}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为

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三、解答题

17. 如图，圆柱是矩形 $O_{1} O A A_{1}$ 绕其边 $O_{1} O$ 所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点.

(1)、求三棱锥 $A_{1} - A B C$ 体积与圆柱体积的比值；

(2)、若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段 $A O_{1}$ 的中点，求异面直线CM与 $B O_{1}$ 所成角的大小.

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18. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得 $tan ∠ B A N = \frac{3}{4}$ ，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得 $tan ∠ B C N = 1$ ，现有两种铺设方案：① 沿线段AB在水下铺设；② 在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km.

(1)、求A、B两点间的距离；

(2)、请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

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19. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + a}$ .

(1)、求 $a$ 的值，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $a \geq 0$ 且 $f (x) < \frac{a - 2}{3}$ 对任意 $x \in R$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于任意一点 $P (x ， y)$ ，总存在一个点 $Q (x^{'} ， y^{'})$ 满足关系式： $φ ： {\begin{matrix} x^{'} = λ x \\ y^{'} = μ y \end{matrix}$ （ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ），则称 $φ$ 为平面直角坐标系中的伸缩变换.

(1)、在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 $φ$ ，使得椭圆 $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ 变换为一个单位圆；

(2)、在同一直角坐标系中，△ $A O B$ （ $O$ 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换 $φ ： {\begin{matrix} x^{'} = λ x \\ y^{'} = μ y \end{matrix}$ （ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ）得到△ $A^{'} O^{'} B^{'}$ ，记△ $A O B$ 和△ $A^{'} O^{'} B^{'}$ 的面积分别为S与 $S^{'}$ ，求证： $\frac{S^{'}}{S} = λ μ$ ；

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ （ $a, b \in R$ ），且不等式 $| f (x) | \leq 2019 | 2^{x} - x^{2} |$ 对任意的 $x \in [0, 10]$ 都成立，数列 ${a_{n}}$ 是以 $7 + a$ 为首项，公差为1的等差数列（ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、当 $x \in [0, 10]$ 时，写出方程 $2^{x} - x^{2} = 0$ 的解，并写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式（不必证明）；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 3^{a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} < m$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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