上海市普陀区2019届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 下列关于双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的判断，正确的是（）

A、渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ B、焦点坐标为 $(\pm 3 ， 0)$ C、实轴长为12 D、顶点坐标为 $(\pm 6 ， 0)$

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2. 函数 $y = 2 cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、关于原点对称 B、关于点 $(- \frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 C、关于y轴对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 轴对称

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3. 若a、b、c表示直线， $α$ 、 $β$ 表示平面，则“ $a / / b$ ”成立的一个充分非必要条件是（）

A、 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ c$ B、 $a / / α$ ， $b / / α$ C、 $a ⊥ β$ ， $b ⊥ β$ D、 $a / / c$ ， $b ⊥ c$

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4. 设 $f (x)$ 是定义在R上的周期为4的函数，且 $f (x) = {\begin{matrix} s i n 2 π x ， 0 \leq x \leq 1 \\ 2 {log}_{2} x ， 1 < x < 4 \end{matrix}$ ，记 $g (x) = f (x) - a$ ，若 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ 则函数 $g (x)$ 在区间 $[- 4 ， 5]$ 上零点的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

5. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + \frac{2}{x}$ 的定义城为．

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6. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{π}{2} + α) =$ ．

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7. 设 $α \in {\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, - 1, - 2, 3}$ ，若 $f (x) = x^{α}$ 为偶函数，则 $α =$ ．

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8. 若直线l经过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点且其一个方向向量为 $\vec{d} = (1, 1)$ ，则直线l的方程为．

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9. 若一个球的体积是其半径的 $\frac{4}{3}$ 倍，则该球的表面积为．

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10. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 $. ($ 结果用最简分数表示 $)$

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11. 设 $(x - 1) {(x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ $($ 结果用数值表示 $)$

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12. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若 ${log}_{a} (sin x - cos x) = 0$ ，则 ${sin}^{8} x + {cos}^{8} x =$ ．

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13. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为4，记 $A_{1} C_{1} \cap^{} B_{1} D_{1} = F$ ， $B C_{1} \cdot^{} B_{1} C = E$ ，若 $A E ⊥ B F$ ，则此棱柱的体积为．

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14. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的 $110 % .$ 照此推算，此人2019年的年薪为万元(结果精确到 $0.1$ )

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15. 已知点 $A (- 2, 0)$ ，设B、C是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的两个不同的动点，且向量 $\overset{⇀}{O B} = t \overset{⇀}{O A} + (1 - t) \overset{⇀}{O C}$ (其中t为实数)，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} =$ ．

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16. 设a为常数记函数 $f (x) = \frac{1}{2} + {log}_{a} \frac{x}{a - x} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $0 < x < a)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (\frac{1}{2 a + 1}) + f^{- 1} (\frac{2}{2 a + 1}) + f^{- 1} (\frac{3}{2 a + 1}) + \dots \dots + f^{- 1} (\frac{2 a}{2 a + 1}) =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对的边依次为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $cos C = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $2 {cos}^{2} \frac{A + B}{2} + 2 sin 2 C$ 的值；

(2)、设 $c = 2$ ，求 $a + b$ 的取值范围.

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18. 已知曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线 $Γ$ 上的任意一点．

(1)、当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值；

(2)、设点C满足 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{C B} (λ > 0)$ ，且 $| P C |$ 的最大值为7，求 $λ$ 的值．

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19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为 $A_{i} (i=1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ．

(1)、设 $O A_{1} = a (a > 0)$ ，当 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 在同一水平面内时，求 $O A_{1}$ 与平面 $A_{1} A_{2} A_{3}$ 所成角的大小 $($ 结果用反三角函数值表示 $)$ ．

(2)、若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为 $3 \sqrt{2} c m^{2}$ ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉” $($ 损耗忽略不计 $)$ ，共需要该种材料多少米？

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N *)$ ．

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

(2)、求证： ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列，并求 $\overset{lim}{n \to \infty} (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} - n)$ 的值；

(3)、记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，是否存在正整数k，使得对于任意的 $n (n \in N *$ 且 $n \geq 2)$ 均有 $S_{n} \geq k$ 成立？若存在，
求出k的值：若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x} (x \in R)$ ，记 $g (x) = f (x) - f (- x)$ ．

(1)、解不等式： $f (2 x) - f (x) \leq 6$ ；

(2)、设k为实数，若存在实数 $x_{0} \in (1, 2]$ ，使得 $g (2 x_{0}) = k \cdot g^{2} (x_{0}) - 1$ 成立，求k的取值范围；

(3)、记 $h (x) = f (2 x + 2) + a \cdot f (x) + b$ (其中a，b均为实数)，若对于任意的 $x \in [0, 1]$ ，均有 $| h (k) | \leq \frac{1}{2}$ ，求a，b的值．

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