上海市普陀区2019届高三数学3月二模试卷

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 $\frac{π}{2}$ ，则球心O到平面ABC的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2. 在 $△ ABC$ 中， $AB = 2$ ， $BC = 1.5$ ， $∠ ABC = 120^{\circ}$ ，若将 $△ ABC$ 绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9}{2} π$ B、 $\frac{7}{2} π$ C、 $\frac{5}{2} π$ D、 $\frac{3}{2} π$

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3. 将函数 $y = sin (x - \frac{π}{12})$ 图象上的点 $P (\frac{π}{4} ， t)$ 向左平移 $s (s > 0)$ 个单位，得到点 $P'$ ，若 $P'$ 位于函数 $y = sin 2 x$ 的图象上，则（）

A、 $t = \frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{12}$ B、 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、 $t = \frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ D、 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{12}$

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4. 已知x， $y \in R$ ，且 ${\begin{matrix} \sqrt{3} x + y \leq 4 \sqrt{3} \\ \sqrt{3} x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则存在 $θ \in R$ ，使得 $xcosθ + ysinθ + 1 = 0$ 成立的 $P (x ， y)$ 构成的区域面积为（）

A、 $4 \sqrt{3} - \frac{π}{6}$ B、 $4 \sqrt{3} - \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{π}{6}$

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | 〉 3}$ ， $U = R$ ，则 $∁_{U} A =$ ．

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6. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{i} (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $z$ 的虚部等于．

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7. 计算 $lim_{n \to \infty}$ $\frac{C_{n}^{2}}{2 n^{2} + n} =$ ．

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8. 行列式 $\begin{matrix} 4 & 2 & k \\ - 3 & 5 & 4 \\ - 1 & 1 & - 2 \end{matrix}$ 中第2行第1列元素的代数余子式的值为 $- 10$ ，则 $k =$ ．

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9. $50^{2019} + 1$ 被7除后的余数为．

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10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是

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11. 已知 $tan (α + β) = 1$ ， $tan (α - β) = 7$ ，则 $tan 2 β =$ ．

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12. 从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．

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13. 如果 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．

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14. 若关于x、y的二元一次方程组 $(\begin{matrix} m & 1 \\ 1 & m \end{matrix}) (\begin{matrix} \overset{x}{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \overset{m + 1}{2 m} \end{matrix})$ 至少有一组解，则实数m的取值范围是．

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15. 已知 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{b_{1} + b_{2} + b_{3}} =$

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ - 4 x^{2} + 8 x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若存在唯一的整数x，使得不等式 $\frac{f (x) - a}{x} > 0$ 成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，E、F分别是棱AB、 $D_{1} C_{1}$ 的中点，联结EF、 ${FB}_{1}$ 、 ${FA}_{1}$ 、 $D_{1}$ E、 $A_{1}$ E、 $B_{1}$ E.

(1)、求三棱锥 $A_{1} - {FB}_{1} E$ 的体积；

(2)、求直线 $D_{1} E$ 与平面 $B_{1} EF$ 所成角的大小 $($ 结果用反三角函数值表示 $)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = {ax}^{2} - 2 ax + 2 (a > 0)$ 在区间 $[- 1, 4]$ 上的最大值为10．

(1)、求a的值及 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，若不等式 $g (3^{x}) - t \cdot 3^{x} \geq 0$ 在 $x \in [0, 2]$ 上有解，求实数t的取值范围．

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19. 如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为 $10 (km)$ ，设地铁在AB部分的总长度为 $y (km)$ ．

(1)、按下列要求建立关系式：
$(i)$ 设 $∠ OAB = α$ ，将y表示成 $α$ 的函数；

$(i)$ 设 $OA = m$ ， $OB = m$ 用m，n表示y．

(2)、把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．

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20. 已知动直线l与椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 交于 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 两个不同的点，O为坐标原点．

(1)、若直线l过点 $(1, 0)$ ，且原点到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求直线l的方程；

(2)、若 $△ OPQ$ 的面积 $S_{△ OPQ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求证： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 和 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 均为定值；

(3)、椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得 $S_{△ ODE} = S_{△ ODG} = S_{△ OEG} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ？若存在，判断 $△ DEG$ 的形状；若不存在，请说明理由．

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21. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 的各项都不为零，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} = S_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} + t}$ ，其中t为正整数．

(1)、求 $a_{2018}$ ；

(2)、若不等式 $a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} < S_{n} + S_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，求首项 $a_{1}$ 的取值范围；

(3)、若首项 $a_{1}$ 是正整数，则数列 ${b_{n}}$ 中的任意一项是否总可以表示为数列 ${b_{n}}$ 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．

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