上海市浦东新区2019届高三一模数学试题

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. “ $m < \frac{1}{4}$ ”是“一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ ”有实数解的（）

A、充分非必要条件 B、充分必要条件 C、必要非充分条件 D、非充分必要条件

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2. 下列命题正确的是（）

A、如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B、如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 C、如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D、如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

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3. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．

A、72 B、36 C、64 D、81

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4. 已知点 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 0)$ ，P为曲线 $y = \sqrt{3 - \frac{3}{4} x^{2}}$ 上任意一点，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{A B}$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 7]$ B、 $[- 1, 7]$ C、 $[1, 3 + 2 \sqrt{3}]$ D、 $[- 1, 3 + 2 \sqrt{3}]$

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二、填空题

5. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = (- \infty, 1] \cup^{} [2, + \infty)$ ，则 $C_{U} A$ = ．

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点坐标是．

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7. 不等式 $| \begin{matrix} {log}_{2} x & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} | > 0$ 的解为．

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8. 已知复数z满足 $(1 + i) \cdot z = 4 i$ (i为虚数单位)，则z的模为．

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9. 若函数 $y = f (x)$ 的图象恒过点 $(0, 1)$ ，则函数 $y = f^{- 1} (x) + 3$ 的图象一定经过定点．

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ $.$ 若 $S_{9} = 36$ ，则 $a_{3} + a_{4} + a_{8} =$ ．

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边是a ， b ， $c .$ 若 $a^{2} = (2 + \sqrt{3}) \cdot b^{2}$ ， $b = c$ ，则 $A =$ ．

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12. 已知圆锥的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ ，母线与底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为．

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13. 已知二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 x | x + a | - 1$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $n a_{n + 2} = 1007 (n - 1) a_{n + 1} + 2018 (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，若 $\overset{lim}{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = A$ ，则 $A =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x}{4 x^{2} + 16}, x \geq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{| x - a |}, x < 2 \end{matrix}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ．

(1)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x - 2 {sin}^{2} x$ ．

(1)、若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间和值域．

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19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值 $E ($ 单位： $exp)$ 与游玩时间 $t ($ 小时)满足关系式： $E = t^{2} + 20 t + 16 a$ ；

②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 $0 ($ 即累积经验值不变)；

③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．

(1)、当 $a = 1$ 时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式 $E = f (t)$ ，并求出游玩6小时的累积经验值；

(2)、该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作 $H (t)$ ；若 $a > 0$ ，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．

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20. 已知双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，左、右两顶点分别是 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点 $P ($ 如图)．

(1)、若 $\vec{d} = (2 ， \sqrt{3})$ 是 $Γ$ 的一条渐近线的一个方向向量，试求 $Γ$ 的两渐近线的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $| P A | = 1$ ， $| P B | = 5$ ， $| P C | = 2$ ， $| P D | = 4$ ，试求双曲线 $Γ$ 的方程；

(3)、在⑴的条件下，且 $| A_{1} A_{2} | = 4$ ，点C与双曲线的顶点不重合，直线 $C A_{1}$ 和直线 $C A_{2}$ 与直线l： $x = 1$ 分别相交于点M和N ，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

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21. 已知平面直角坐标系xOy ，在x轴的正半轴上，依次取点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots A_{n} (n \in N^{*})$ ，并在第一象限内的抛物线 $y^{2} = \frac{3}{2} x$ 上依次取点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $\dots$ ， $B_{n} (n \in N^{*})$ ，使得 $△ A_{k - 1} B_{k} A_{k} (k \in N^{*})$ 都为等边三角形，其中 $A_{0}$ 为坐标原点，设第n个三角形的边长为 $f (n)$ ．

(1)、求 $f (1)$ ， $f (2)$ ，并猜想 $f (n) ($ 不要求证明)；

(2)、令 $a_{n} = 9 f (n) - 8$ ，记 $t_{m}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中落在区间 $(9^{m}, 9^{2 m})$ 内的项的个数，设数列 ${t_{m}}$ 的前m项和为 $S_{m}$ ，试问是否存在实数 $λ$ ，使得 $2^{λ} \leq S_{m}$ 对任意 $m \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)、已知数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}, b_{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \sqrt{1 - b_{n}^{2}}}$ ，数列 ${C_{n}}$ 满足： $c_{1} = 1, c_{n + 1} = \frac{\sqrt{1 + c_{n}^{2}} - 1}{c_{n}}$ ，求证： $b_{n} < f (\frac{π}{2^{n + 1}}) < c_{n}$ ．

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