上海市金山区2019届高三上学期数学（一模)期末质量监控试卷

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{m + 2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 2$ 或 $m < - 1$ B、 $m > - 2$ C、 $- 1 < m < 2$ D、 $m > 2$ 或 $- 2 < m < - 1$

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2. 给定空间中的直线l及平面 $α$ ，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（）．

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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3. 欧拉公式 $e^{i x} = cos x + isin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ， $e$ 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， $e^{2018i}$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \log_{5} (1 - x) | ， x < 1 \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则方程 $f (x + \frac{1}{x} - 2) = a$ （ $a \in R$ ）的实数根个数不可能为（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {1, 3, 5, 6, 7}$ ， $B = {2, 4, 5, 6, 8}$ ，则 $A \cap^{} B =$

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6. 抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线方程为．

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7. 计算： $lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 1}{3 n + 2} =$

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8. 不等式 $| 3 x - 2 |_{} < 1$ 的解集为

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9. 若复数 $z = (3 + 4 i) (1 - i)$ （ $i$ 为虚数单位）， $| z | =$

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10. 已知函数 $f (x) = 1 + {log}_{2} x$ ，则 $f^{- 1} (5) =$

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11. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是

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12. 在 ${(x^{3} - \frac{1}{x^{2}})}^{10}$ 的二项展开式中，常数项的值是（结果用数值表示）

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13. 无穷等比数列 ${a_{n}}$ 各项和 $S$ 的值为2，公比 $- 1 < q < 0$ ，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是

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14. 在 $120^{°}$ 的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于 $A$ 、 $B$ 两点，则这两个点在球面上的距离是

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15. 设函数 $f (x) = lg (1 + | x |) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则使 $f (2 x) < f (3 x - 2)$ 成立的 $x$ 取值范围是

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16. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 满足条件： $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 0$ ， $| \overset{⇀}{a} | = cos α$ ， $| \overset{⇀}{b} | = sin α$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若向 $\overset{⇀}{c} = λ \overset{⇀}{a} + μ \overset{⇀}{b}$ $(λ, μ \in R)$ ，且 ${(2 λ - 1)}^{2} {cos}^{2} α + {(2 μ - 1)}^{2} {sin}^{2} α = \frac{1}{9}$ ，则 $| \overset{⇀}{c} |$ 的最小值为

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三、解答题

17. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为 $\frac{π}{3}$ . 求：

(1)、三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

(2)、异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

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18. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $P (- 3, \sqrt{3})$ .

(1)、求行列式 $| \begin{matrix} sin α & 1 \\ tan α & cos α \end{matrix} |$ 的值；

(2)、若函数 $f (x) = cos (x + α) cos α + sin (x + α) sin α$ $(x \in R)$ ，求函数 $y = \sqrt{3} f (\frac{π}{2} - 2 x) + 2 f^{2} (x)$ 的最大值，并指出取得最大值时 $x$ 的值.

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19. 设函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ， $g (x) = {log}_{4} (3 x + 1)$ .

(1)、若 $f^{- 1} (x) \leq g (x)$ ，求 $x$ 的取值范围 $D$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $H (x) = g (x) - \frac{1}{2} f^{- 1} (x)$ ，当 $x \in D$ 时，函数 $H (x)$ 的图像与直线 $y = a$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C$ 以坐标原点为中心，焦点在 $y$ 轴上，焦距为2，且经过点 $(1, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A (a, 0)$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 上任一点，求点 $A$ 到点 $P$ 距离的最大值 $d (a)$ ；

(3)、在（2）的条件下，当 $0 < a < 1$ 时，设 $△ Q O A$ 的面积为 $S_{1}$ （O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以 $d (a)$ 为边长的正方形的面积为 $S_{2}$ ，若正数 $m$ 满足 $S_{1} \leq m S_{2}$ ，问 $m$ 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.

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21. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 15$ ， $a_{6} = 11$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中落入区间 $(2^{m + 1}, 2^{2 m + 1})$ 内的项的个数记为 ${b_{m}}$ ，记数列 ${b_{m}}$ 的前 $m$ 项和为 $S_{m}$ ，求使得 $S_{m} > 2018$ 的最小整数 $m$ ；

(3)、若 $\exists$ $n \in N^{*}$ ，使不等式 $a_{n} + \frac{1}{a_{n}} \leq (2 n + 1) λ \leq a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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