上海市奉贤区2019届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2019-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 下列以行列式表达的结果中，与 $sin (α - β)$ 相等的是（）

A、 $| \begin{matrix} sin α & - sin β \\ cos α & cos β \end{matrix} |$ B、 $| \begin{matrix} cos β & sin α \\ sin β & cos α \end{matrix} |$ C、 $| \begin{matrix} sin α & sin β \\ cos α & cos β \end{matrix} |$ D、 $| \begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin β & cos β \end{matrix} |$

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2. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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3. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $lim_{n \to \infty} \frac{S_{n} - a_{n}}{S_{n} + a_{n}} < \frac{1}{3}$ ，则 $q$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 1] \cup^{} (2, + \infty)$ D、 $(0, 2)$

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4. 若三个非零且互不相等的实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{2}{x_{3}}$ ，则称 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成一个“ $β$ 等差数列”.已知集合 $M = {x | | x | \leq 100, x \in Z}$ ，则由 $M$ 中的三个元素组成的所有数列中，“ $β$ 等差数列”的个数为（）

A、25 B、50 C、51 D、100

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二、填空题

5. 已知 $A = {x | 3^{x} < 1}$ ， $B = {x | y = lg (x + 1)}$ ，则 $A \cup^{} B =$

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6. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条渐近线的一个方向向量 $\overset{⇀}{d} = (u, v)$ ，则 $\frac{u}{v} =$

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7. 设函数 $y = f (x) = 2^{x} + c$ 的图像经过点 $(2, 5)$ ，则 $y = f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) =$

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8. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为

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9. 若复数 $z = (a + i) (3 + 4 i)$ （ $i$ 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数 $z$ 的共轭复数的模等于

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10. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是

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11. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，若 $(a^{2} - b^{2} + c^{2}) = \sqrt{3} S$ ，则角B的值为（用反正切表示）

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12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{t} = 1$ 上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则 $t$ 的取值范围为

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13. 函数 $g (x)$ 对任意的 $x \in R$ ，有 $g (x) + g (- x) = x^{2}$ ，设函数 $f (x) = g (x) - \frac{x^{2}}{2}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，若 $f (a) + f (a^{2} - 2) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

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14. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年

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15. 点 $P$ 在曲线 $\sqrt{\frac{x^{2}}{25}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{9}} = 1$ 上运动， $E$ 是曲线第二象限上的定点， $E$ 的纵坐标是 $\frac{15}{8}$ ， $O (0, 0)$ ， $F (4, 0)$ ，若 $\overset{⇀}{O P} = x \overset{⇀}{O F} + y \overset{⇀}{O E}$ ，则 $x + y$ 的最大值是

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16. 设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 x - 4 y$ 的两点，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 的最大值是

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三、解答题

17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A_{1} A D_{1}$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90^{°}$ ， $B C = 4$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积是 $8 \sqrt{3}$ ，求异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成角的大小.

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18. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- π < φ < 0$ ）在一个周期内的图像经过 $B (\frac{π}{6}, 0)$ ， $C (\frac{2 π}{3}, 0)$ ， $D (\frac{π}{4}, 1)$ 三点，求 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的表达式.

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19. 今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ (时)的函数关系为： $f (x) = | \log_{25} (x + 1) - a | + 2 a + 1 ， x \in [0 ， 24]$ ，其中 $a$ 为空气治理调节参数，且 $a \in (0 ， 1)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

(2)、规定每天中 $f (x)$ 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过 $3$ ，则调节参数 $a$ 应控制在什么范围内？

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20. 已知抛物线 $y = x^{2}$ 上的 $A$ 、 $B$ 两点满足 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 2$ ，点 $A$ 、 $B$ 在抛物线对称轴的左右两侧，且 $A$ 的横坐标小于零，抛物线顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ .

(1)、当点 $B$ 的横坐标为2，求点 $A$ 的坐标；

(2)、抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $| M F |_{} = λ | M O |$ （ $λ > 0$ ），若请说明理由；

(3)、设焦点 $F$ 关于直线 $O B$ 的对称点是 $C$ ，求当四边形 $O A B C$ 面积最小值时点 $B$ 的坐标.

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21. 若对任意的正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a_{m}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是“回归数列”.

(1)、前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n}$ 的数列 ${a_{n}}$ 是否是“回归数列”？并请说明理由；

(2)、设 ${a_{n}}$ 是等差数列，首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ ，若 ${a_{n}}$ 是“回归数列”，求 $d$ 的值；

(3)、是否对任意的等差数列 ${a_{n}}$ ，总存在两个“回归数列” ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）成立，请给出你的结论，并说明理由.

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