湖北省部分重点中学2019届高三文数第二次联考试卷

试卷更新日期：2019-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x - 4 < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 1}$ ，则以下正确的结论是（）

A、 $A \cap^{} B =$ $\emptyset$ B、 $A \cap^{} B = {x | x < 0}$ C、 $A \cup^{} B = {x | x < 0}$ D、 $A \cup^{} B = R$

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2. 已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）

A、2，5 B、5，5 C、5，8 D、8，8

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4. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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5. 已知角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，若角 $θ$ 终边过点 $(3 ， - 4)$ ，则 $cos (θ + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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6. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点相同，双曲线 $C$ 的一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{48} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7. 一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为（）

A、7 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = x cos x + (a - 1) x^{2} + a x + a$ ，若函数 $y = f (x) - a$ 是奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $2 x - y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 2 = 0$

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9. 将函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图像，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的周期是 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 对称

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $O$ 为底面矩形 $A B C D$ 两条对角线的交点，若异面直线 $A_{1} O$ 与 $B C$ 所成的角为 $60^{0}$ ，则长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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11. 已知边长为2的等边 $Δ A B C$ 中，向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ，则下列式子错误的是（）

A、 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = 2$ B、 $| \overset{⇀}{b} | = 2 \sqrt{3}$ C、 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) = 2$ D、 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 6$

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12. 已知 $Δ A B C$ 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{3} x - 2}$ 的定义域为．

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14. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 4 \\ y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - a = 0$ 有两个不相同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知 $O$ 为原点，过点 $P (1 ， - \frac{3}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $Δ A O B$ 的面积为2，则直线 $l$ 的方程为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ，记 $b_{n} = 1 + a_{n}$ .

(1)、求 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3}$ ；

(2)、判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $Δ P A B$ 是等边三角形， $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $B C / / A D$ ， $A B = B C = 2 A D = 4$ ，点 $M$ 为棱 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P A D$ 的体积.

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19. 2018年11月21日，意大利奢侈品牌“

D

﹠

G

”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：

[0 ， 10)

，

[10 ， 20)

，

[20 ， 30)

，

[30 ， 40)

，

[40 ， 50)

，

[50 ， 60]

，得到如图所示的频率分布直方图；

并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表.

	一般关注	强烈关注	合计
男			45
女		10	55
合计			100

(1)、在答题卡上补全列联表中数据；并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？

(2)、现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010
$k_{0}$	3.841	6.635

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： y = k x + 1 (k > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M ， N$ ，若在 $x$ 轴上存在点 $G (m ， 0)$ ，使得 $| G M | = | G N |$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = ln x - a x - 1 ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {cos}^{2} θ = sin θ$ ，点 $P$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{3} ， - \frac{π}{3})$ ，以极点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、曲线 $C$ 的直角坐标方程和点 $P$ 的直角坐标；

(2)、若过点 $P$ 且倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线 $l$ ，点 $Q$ 为曲线 $C$ 上任意一点，求点 $Q$ 到直线 $l$ 的最小距离.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x - 1 | ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x + 1 |$ 的解集包含集合 $[\frac{1}{2} ， 1]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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