贵州省部分重点中学2019届高三文数3月联考试卷

试卷更新日期：2019-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{5 + i}{1 - i} =$ （）

A、 $2 + 3 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $3 - 3 i$

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2. 已知集合 $A = {x \in N | x \leq 2}$ ， $B = {- 1, 1}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则斜率为正的渐近线的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是（）

A、2010～2016年全国餐饮收入逐年增加 B、2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上 C、2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年 D、2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个

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5. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{5 π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 为奇函数

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值是（）

A、-4 B、0 C、8 D、12

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7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} - a_{2} = 2$ ， $a_{2} - a_{3} = 6$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、-60 B、-40 C、20 D、40

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、32 B、34 C、36 D、38

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9. 下面的程序框图是为了求出满足 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{i} > 2 (i \in N^{*})$ 的最小偶数，那么在“ □”和“ ”两个空白框中，可以分别填入（）

A、 $i = i + 1$ 和 $i$ 是奇数 B、 $i = i + 2$ 和 $i$ 是奇数 C、 $i = i + 1$ 和 $i$ 是偶数 D、 $i = i + 2$ 和 $i$ 是偶数

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10. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $F$ 是棱 $C C_{1}$ 上靠近 $C_{1}$ 的三等分点，且三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积为2，则四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、12 B、8 C、20 D、18

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1, x \leq 1 \\ l n x + 1, x > 1 \end{matrix}$ ，则满足 $f (x) + f (x + 1) > 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) - \frac{1}{f (x)} = m$ 有三个不等的实根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e - \frac{1}{e})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - e)$ C、 $(e - \frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e} - e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + (1 - λ) \overset{⇀}{e_{2}}$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} + S_{5} = 18$ ， $a_{5} = 7$ .若 $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = m x^{2} + (n - 1) x + 2 (m > 0, n > 0)$ 的单调递增区间为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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16. 在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $M$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} y = 0$ 相交于两点，且两点间的距离为 $\sqrt{6}$ ，则抛物线 $M$ 的焦点到其准线的距离为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $(sin A + sin B) (a - b) = (sin C - sin B) c$ ．

(1)、求A；

(2)、已知 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, 求 △ A B C$ 的周长．

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18. 已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

甲每天生产的次品数/件

0

1

2

3

4

对应的天数/天

40

20

20

10

10

乙每天生产的次品数/件

0

1

2

3

对应的天数/天

30

25

25

20

(1)、将甲每天生产的次品数记为 $x$ （单位：件），日利润记为 $y$ （单位：元），写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B_{1} C = 1$ ， $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $M$ ，直线 $F M$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且原点到直线 $F M$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若不经过点 $F$ 的直线 $l$ ： $y = k x + m (k 〈 0, m 〉 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切.试探究 $Δ A B F$ 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x)$ 有最小值，且最小值不小于 $2 a^{2} - a - 1$ 时，求 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的方程为 $k x - y + 2 k = 0$ ，曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{matrix} x = c o s φ, \\ y = s i n φ \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数， $0 \leq φ \leq π$ ），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ ： $ρ (sin θ + cos θ) - 1 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 有公共点，且直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点 $P$ 恰好在曲线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴围成的区域（不含边界）内，求 $k$ 的取值范围.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x - a | - 2 x - 1$ .

(1)、当 $a = - 2$ ，解不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(2)、当 $a = 1$ 时，若存在 $x \in R$ 使不等式 $f (x) + | x + 2 | \leq m$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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甲每天生产的次品数/件	0	1	2	3	4
对应的天数/天	40	20	20	10	10

乙每天生产的次品数/件	0	1	2	3
对应的天数/天	30	25	25	20