新疆乌鲁木齐市2019届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2019-04-22 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | - 2 < x < 0}$ ，则集合 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 0}$ D、 ${x | - 2 < x < 2}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{z^{2} + 2}{z - 1} =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

查看试题解析
3. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $cos x \leq 1$ ，则（）

A、 $￢ p : \exists x \in R$ ， $cos x \geq 1$ B、 $￢ p : \exists x \in R$ ， $cos x < 1$ C、 $￢ p : \exists x \in R$ ， $cos x \leq 1$ D、 $￢ p : \exists x \in R$ ， $cos x > 1$

查看试题解析
4. 如图所示的程序框图，如果输入三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A、 $c > x$ B、 $x > a$ C、 $c > b$ D、 $b > c$

查看试题解析
5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

查看试题解析
6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

查看试题解析
7. 设 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 2 \\ x - y \geq - 1 \\ x - 2 y ⩽ 2 \end{matrix}$ ，则 $z = x + y$ （）

A、有最小值 $\frac{4}{5}$ ，最大值 $\frac{5}{3}$ B、有最小值 $\frac{4}{5}$ ，无最大值 C、有最小值 $\frac{5}{3}$ ，无最大值 D、既无最小值，也无最大值

查看试题解析
8. 公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项， $S_{5} = 20$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $45$ B、 $55$ C、 $65$ D、 $90$

查看试题解析
9. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）

A、 $\frac{2 π}{15}$ B、 $\frac{3 π}{20}$ C、 $1 - \frac{2 π}{15}$ D、 $1 - \frac{3 π}{20}$

查看试题解析
10. 设定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{3} - 8$ （ $x > 0$ ），则 ${x | f (x - 2) \geq 0} =$ （）

A、 $[- 2 ， 0) \cup^{} [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty - 2] \cup^{} [2 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 2) \cup^{} [4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 2] \cup^{} [4 ， + \infty)$

查看试题解析
11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，且长度相等.若点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 都在半径为 $1$ 的球面上，则球心到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
12. 函数 $f (x) = - x^{2} + 3 x - a$ ， $g (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，若 $f [g (x)] \geq 0$ 对 $x \in [0 ， 1]$ 恒成立，则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, e]$ C、 $(- \infty, ln 2]$ D、 $[0, \frac{1}{2})$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, m)$ ， $\vec{c} = (- 1, 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $m =$ .

查看试题解析
14. 将函数 $f (x) = sin \frac{x}{2} - \sqrt{3} cos \frac{x}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是.

查看试题解析
15. 已知抛物线 $y = a x^{2}$ 的准线与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y - 7 = 0$ 相切，则 $a$ 的值为.

查看试题解析
16. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{2^{n}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{11} =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{6}$ ， $B = 2 A$ .
（Ⅰ）求 $sin A$ 的值；

（Ⅱ）求 $c$ 的值.

查看试题解析

18. 某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：

	同意	不同意	合计
男生	a	5
女生	40	d
合计			100

(1)、求 a ， d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；

(2)、将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

查看试题解析

19. 如图，在正三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、点 $M$ 在 $C C_{1}$ 上，若 $A_{1} E ⊥ B M$ ，求二面角 $B - F M - E$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 $C$ 的长轴，短轴端点的一条直线方程是 $x + \sqrt{2} y - 2 = 0$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $P (0 ， 2)$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，证明直线 $A B^{'}$ 过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x ln (x + 1) - a x^{2} (a \leq 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $x ＝ e - 1$ 处的切线与直线 $x - e y = 0$ 平行，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在 $a$ 使得 $f (x)$ 仅有一个极值点？若存在求出 $a$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} + \sqrt{2} t \\ y = t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 a c o s θ (a > 0)$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (- \frac{1}{2}, 0)$ ，且 $| P A | + | P B | = \sqrt{6}$ ，求 $a$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + 3 | - | x - 1 |$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的值域；

（Ⅱ）若对 $\forall x \in R$ ， $f (x) < | \frac{1}{2} x - a |$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析