四川省达州市2019届高三理数一诊理科试卷

试卷更新日期：2019-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | x (x - 1) \leq 0}$ ， $A = {1}$ ，则 $∁_{U} A = ($ $)$

A、 $[0 ， 1]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup^{} (1$ ， $+ \infty)$

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2. 复平面内表示复数 $\frac{1 + i}{i}$ 的点位于 $($ $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “ $m \geq 0$ ”是“ $x^{2} + 2 x + m \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立”的 $($ $)$

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 运行如图所示的程序框图，输出的x是（

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $- 4$ D、 $- 5$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} \neq 0 (n \in N *) .$ 角 $α$ 顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点 $(a_{2} ， a_{1} + a_{3})$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{sin α - cos α} = ($ $)$

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. b是区间 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ 上的随机数，直线 $y = - x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 有公共点的概率为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 下图虚线网格的最小正方形边长为 $1$ ，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $π$

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8. 扇形OAB的半径为1，圆心角为 $90^{\circ}$ ，P是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点， $\vec{O P} \cdot (\vec{O A} - \vec{O B})$ 的最小值是 $($ $)$

A、0 B、 $- 1$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (0 < ω < 10 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象经过 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，它的一条对称轴是 $x = \frac{π}{8}$ ，则 $ω = ($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、8

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10. 函数 $y = {log}_{2} (x + 1)$ 与函数 $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2}$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的图象大致是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 4 c x (c^{2} = a^{2} - b^{2} ， c > 0)$ 与椭圆C在第一象限的交点为P，若 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{4}{5}$ ，则椭圆C的离心率为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ 或 $\frac{4 + \sqrt{7}}{9}$

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12. 若 $f (x) = {\begin{matrix} - \frac{1}{2} x^{2} - a (a + 1) l n x + (2 a + 1) x ， 0 < x \leq a \\ x - x l n x ， x > a \end{matrix}$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 $[1 ， e]$ B、 $[e ， + \infty)$ C、 $(0 ， e^{\frac{3}{2}}]$ D、 $[1 ， e^{\frac{3}{2}}]$

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二、填空题

13. 若 ${(x - 2)}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为．

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14. 若x，y满足： ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y \geq 0 \\ y \geq 0. \end{matrix}$ ，则 $x + 3 y$ 的最大值是．

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15. 三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直， $P A = P B = P C = 2 \sqrt{3}$ ，球O的体积为．

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16. 记 $[x]$ 为不超过x的最大整数，如 $[0.8] = 0$ ， $[3] = 3$ ，当 $0 \leq x < 2 π$ 时，函数 $f (x) = sin ([x] π + x)$ 的最大值是（结果可用三角函数表示 $($ 如 $sin 1)$ ）

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三、解答题

17. 在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $cos 2 A + cos B cos C + 1 = sin B sin C$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ，求b．

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18. $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{10} = 100$ ， $a_{3} + a_{4} = 12$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{n} > 0 (n \in N^{*})$ ， $b_{1} = \frac{1}{a_{2} + 1}, b_{3} = \frac{1}{S_{4}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求证： $b_{n} + T_{n} = \frac{1}{2}$ 恒成立．

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19. 如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点， $A D = D G$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $B E / / A P$ ， $B E = \frac{1}{2} A P$ ，F是线段PG的中点；

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面PAC；

(2)、若 $P A = A B = 2$ 时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．

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20. 对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 $T ($ 单位：吨 $)$ 的频率分布直方图，如图一．

(1)、根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量 $\bar{T}$ ；

(2)、已知该居民月用水量T与月平均气温 $t ($ 单位： $℃)$ 的关系可用回归直线 $T = 0.4 t + 2$ 模拟 $.2017$ 年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于 $T_{月}$ 的月份分为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，这2个月中该居民有 $ξ$ 个月每月用水量超过 $\bar{T_{月}}$ ，视频率为概率，求出 $E ξ$ ．

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21. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - x - ln x$ ， $g (x) = ln x$ ．

(1)、求证： $g (x) < x$ ；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 零点的个数．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 cos α \\ y = 2 sin α \end{matrix} (α$ 为参数 $)$ ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t cos β \\ y = t sin β \end{matrix} (t$ 为参数， $0 \leq β < π) . l$ 与C相交于点A、 $B .$ 以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C的普通方程和极坐标方程；

(2)、若 $| A B | = \sqrt{13}$ ，求 $β$ ．

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 2 | + | x - 3 |$ ．

(1)、解不等式： $f (x) \geq 7$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最小值为a，已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $2 m + n = a$ ，求证： $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} \geq 2$ ．

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