2017年四川省资阳市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

试卷更新日期：2017-05-10 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 设全集U=R，集合A={x|x²﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、{x|x≤﹣1或x≥3} B、{x|x＜1或x≥3} C、{x|x≤1} D、{x|x≤﹣1}

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2. 已知等差数列{a_n}的前项和为S_n ，且S₅=30，则a₃=（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 已知i为虚数单位，若复数z=a²﹣1+（1+a）i（其中a∈R）为纯虚数，则 $\frac{z}{z - i}$ =（）

A、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$

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4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）

A、 $4 + \frac{2 π}{3}$ B、 $4 + \frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $8 + \frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $8 + \frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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5. 双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为 $\sqrt{3} a$ ，则E的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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6. 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）

A、40 B、60 C、80 D、100

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7. 已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ ，其中ω＞0．若 $f (x) \leq f (\frac{π}{12})$ 对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）

A、2 B、4 C、10 D、16

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9. 已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）

A、c^a＞c^b B、 $\frac{a}{a - c} > \frac{b}{b - c}$ C、ba^c＞ab^c D、log_ac＞log_bc

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10. 正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE=120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11. 过抛物线y²=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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12. 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 $\frac{1}{2}$ ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若 $\vec{A P}$ =x $\vec{A B}$ +y $\vec{B C}$ ，其中x，y∈R，则4x﹣y的取值范围是（）

A、 $[2 ， 3 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}]$ B、 $[2 ， 3 + \frac{\sqrt{5}}{2}]$ C、 $[3 - \frac{\sqrt{2}}{4} ， 3 + \frac{\sqrt{5}}{2}]$ D、 $[3 - \frac{\sqrt{17}}{2} ， 3 + \frac{\sqrt{17}}{2}]$

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二、填空题：

13. 二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中，常数项是．

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14. 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ²），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X＞4）= ．

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15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

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16. 已知函数f（x）=（x﹣2）e^x﹣ $\frac{k}{2} x^{2}$ +kx（k是常数，e是自然对数的底数，e=2.71828…）在区间（0，2）内存在两个极值点，则实数k的取值范围是．

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三、解答题：

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin² $\frac{B - C}{2} + \sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．

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18. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ）求图中x的值；
（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA₁B₁B为正方形，且AA₁⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ）若BC₁∥平面A₁CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A₁D﹣C﹣BC₁的余弦值．

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20.
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k₁ ， k₂
①求证：k₁•k₂为定值；
②求△CEF的面积的最小值．

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21. 已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ）对任意x₂≥ex₁＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 $\frac{f (x_{2} - 1) - f (x_{1} - 1)}{x_{2} - x_{1}} > \frac{a (x_{2} - 1) - f (x)}{x_{2}}$ 成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

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22. 已知在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁与C₂交点的平面直角坐标；
（Ⅱ）点A，B分别在曲线C₁ ， C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（ $\frac{y}{x^{2}}$ ）．

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