2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-10 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知复数z=1+2i，则 $z \cdot \bar{z}$ =（）

A、5 B、5+4i C、﹣3 D、3﹣4i

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2. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）

A、{x|﹣2＜x＜2} B、{x|﹣2＜x＜3} C、{x|﹣1＜x＜3} D、{x|﹣1＜x＜2}

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3. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若点P为抛物线y=2x²上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5. 已知数列{a_n}满足a_n₊₁﹣a_n=2，a₁=﹣5，则|a₁|+|a₂|+…+|a₆|=（）

A、9 B、15 C、18 D、30

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6. 平面内的动点（x，y）满足约束条件 ${\begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \end{cases}$ ，则z=2x+y的取值范围是（）

A、（﹣∞，+∞） B、（﹣∞，4] C、[4，+∞） D、[﹣2，2]

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7. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

A、4 B、8 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于 $\frac{15}{16}$ ，则n的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 若方程 $2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) = π$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实数解x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂=（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）

A、 $\frac{11}{8}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{23}{16}$

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11. 已知向量 $\vec{O A} = (3 ， 1)$ ， $\vec{O B} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{O c} = m \vec{O A} - n \vec{O B}$ （m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则 $\vec{O C}$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{5} ， 2 \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{5} ， 2 \sqrt{10})$ C、 $(\sqrt{5} ， \sqrt{10})$ D、 $[\sqrt{5} ， 2 \sqrt{10}]$

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12. 对函数f（x）= $\frac{\cos x + m}{\cos x + 2}$ ，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{4} ， 6)$ B、 $(\frac{5}{3} ， 6)$ C、 $(\frac{7}{5} ， 5)$ D、 $(\frac{5}{4} ， 5)$

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二、填空题：

13. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．

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14. 函数f（x）=e^x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．

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15. 等比数列{a_n}中各项均为正数，S_n是其前n项和，且满足2S₃=8a₁+3a₂ ， a₄=16，则S₄= ．

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16. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若 $\frac{| A F |}{| B F |} = \frac{1}{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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三、解答题：

17. 已知点P（ $\sqrt{3}$ ，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）= $\vec{O P}$ • $\vec{Q P}$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．

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18.
某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
20
40
80
50
10
男性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
45
75
90
60
30

（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．

(1)、求证：PD⊥平面ABE；

(2)、若F为AB中点， $\vec{P M} = λ \vec{P C} (0 < λ < 1)$ ，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

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20. 已知F₁ ， F₂分别是长轴长为2 $\sqrt{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左右焦点，A₁ ， A₂是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A₁ ， A₂的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA₂的中点，且直线PA₂与OM的斜率之积恒为﹣ $\frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣ $\frac{1}{4}$ ，0），求线段AB长的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求f（x）的极值；

(2)、当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；

(3)、设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x₁ ， f（x₁）、B（x₂ ， f（x₂）），中点横坐标为x₀ ，证明：f'（x₀）＜0．

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22. 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 - \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} t \end{cases}$ （t为参数）．

(1)、求曲线C₁的直角坐标方程及直线l的普通方程；

(2)、若曲线C₂的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = \sin α \end{cases}$ （α为参数），曲线C₁上点P的极角为 $\frac{π}{4}$ ，Q为曲线C₂上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．

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23. 已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．

(1)、求证：2a+b=2；

(2)、若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

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女性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
女性用户	频数	20	40	80	50	10
男性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
男性用户	频数	45	75	90	60	30