2017年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. sin15°+cos165°的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$

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2. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若（ $\frac{1}{2}$ x﹣2y）²ⁿ⁺¹的展开式中前n+1项的二项式系数之和为64，则该展开式中x⁴y³的系数是（）

A、﹣ $\frac{35}{2}$ B、70 C、 $\frac{35}{2}$ D、﹣70

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6. 二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计，统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有（）

A、1050辆 B、1350辆 C、1650辆 D、1950辆

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7. 复数z₁、z₂满足|z₁|=|z₂|=1，z₁﹣z₂= $\frac{2 - 4 i}{2 + i}$ ，则z₁•z₂=（）

A、1 B、﹣1 C、i D、﹣i

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8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图，f（ $\frac{π}{2}$ ）=﹣1，则f（0）的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9.
秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x³+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（）

A、﹣0.6 B、﹣0.69 C、﹣0.7 D、﹣0.71

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10. 已知函数f（x）=|2^x﹣2|+b的两个零点分别为x₁ ， x₂（x₁＞x₂），则下列结论正确的是（）

A、1＜x₁＜2，x₁+x₂＜2 B、1＜x₁＜2，x₁+x₂＜1 C、x₁＞1，x₁+x₂＜2 D、x₁＞1，x₁+x₂＜1

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11. 在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（）

A、31.2 B、32.4 C、33.6 D、34.8

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ =（1，x）， $\vec{b}$ =（x，1），若 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =﹣| $\vec{a}$ |•| $\vec{b}$ |，则x= ．

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14. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y - 5 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为．

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15. 设f（x）= $\sqrt{x}$ 的图象在点（1，1）处的切线为l，则曲线y=f（x），直线l及x轴所围成的图形的面积为．

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16. 已知双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 设等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n ，已知3 $\sqrt{5}$ 是﹣a₂与a₉的等比中项，S₁₀=﹣20．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} | a_{n + 1} |}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n（n≥6）．

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18. 如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A₁B⊥AC₁ ．

(1)、求证：平面A₁BC⊥平面ABC₁；

(2)、若直线AA₁与底面ABC所成的角为60°，求直线AA₁与平面ABC₁所成角的正弦值．

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19. 《最强大脑》是江苏卫视推出国内首档大型科学类真人秀电视节目，该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克，某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分，假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．

(1)、求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；

(2)、求比赛结束时B队得分X的分布列和期望．

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20. 设离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁ ， F₂ ，点P是E上一点，PF₁⊥PF₂ ， △PF₁F₂内切圆的半径为 $\sqrt{2}$ ﹣1．

(1)、求E的方程；

(2)、矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为 $\frac{11 \sqrt{2}}{3}$ ，求直线AB的方程．

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21. 设函数f（x）=e^x+ax²（a∈R）．

(1)、若函数f（x）在R上单调，且y=f′（x）有零点，求a的值；

(2)、若对∀x∈[0，+∞），有 $\frac{f (x)}{a x + 1}$ ≥1，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ²﹣4ρcosθ+1=0，直线l： ${\begin{cases} x = 4 + t \sin α \\ y = t \cos α \end{cases}$ （t为参数，0≤α＜π）．

(1)、求曲线C的参数方程；

(2)、若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．

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23. 已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．

(1)、若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．

(2)、记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a²+b²=k，证明：a+b≥2ab．

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