2017年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科

试卷更新日期：2017-05-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）

A、{﹣2，﹣1，0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1} D、{﹣1，0}

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2. 已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 定积分 $\int_{1}^{3} (2 x - \frac{1}{x}) d x$ =（）

A、10﹣ln3 B、8﹣ln3 C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{64}{9}$

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4. 设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且 $A E = \frac{1}{2} A B$ ， $B F = \frac{2}{3} B C$ ，如果 $\vec{E F} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ （m，n为实数），那么m+n的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）

A、k≤3？ B、k＜3？ C、k≤4？ D、k＞4？

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）

A、60 B、72 C、84 D、96

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8. 一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）

A、a B、b C、c D、d

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二、填空题

9. 抛物线y²=2x的准线方程是．

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10. 已知{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和．若a₂=2，S₉=9，则a₈= ．

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11. 在△ABC中，若b²=ac， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则∠A= ．

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12. 若x，y满足 ${\begin{cases} x - y + 2 \leq 0 \\ x + y - 7 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：x+y=4，曲线 $C_{2} ： {\begin{cases} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{cases}$ （θ为参数），过原点O的直线l分别交C₁ ， C₂于A，B两点，则 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最大值为．

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14. 已知函数f（x）=e^x﹣e^﹣^x ，下列命题正确的有．（写出所有正确命题的编号）

①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x²+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若 $g (x) = f (x) \cdot \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，求g（x）在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间．

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16.
如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．

（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求 $\frac{E F}{E A}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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17. 某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A
4
4
4.5
5
5.5
6
6
B
4.5
5
6
6.5
6.5
7
7
7.5
C
5
5
5.5
6
6
7
7
7.5
8
8

(1)、已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；

(2)、从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；

(3)、再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ₁ ，表格中数据的平均数记为μ₀ ．若μ₀≤μ₁ ，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln (k x) + \frac{1}{x} - k (k > 0)$ ．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意 $x \in [\frac{1}{k} ， \frac{2}{k}]$ ，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点 $(1 ， \frac{2}{k}]$ 的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设 $\vec{P M} = λ \vec{M F}$ ， $\vec{P N} = μ \vec{N F}$ ，求证：λ+μ为定值．

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20. 对于∀n∈N^* ，若数列{x_n}满足x_n₊₁﹣x_n＞1，则称这个数列为“K数列”．

（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m²是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a_n}为“K数列”，且其前n项和S_n满足 $S_{n} < \frac{1}{2} n^{2} - n (n \in N *)$ ？若存在，求出{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a_n}是“K数列”，数列 ${\frac{1}{2} a_{n}}$ 不是“K数列”，若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n + 1}$ ，试判断数列{b_n}是否为“K数列”，并说明理由．

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A	4	4	4.5	5	5.5	6	6
B	4.5	5	6	6.5	6.5	7	7	7.5
C	5	5	5.5	6	6	7	7	7.5	8	8