广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研考试数学理试题

试卷更新日期：2019-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = i (2 + i)$ 的共轭复数是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2. 已知集合 $A = {x | y = lg (2 - x)}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 \leq x < 2}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3}$

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3. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{5} = 25$ ， $a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 已知某产品的销售额 $y$ 与广告费用 $x$ 之间的关系如下表：

$x$ （单位：万元）

0

1

2

3

4

$y$ （单位：万元）

10

15

20

30

35

若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + a$ ，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（）

A、42万元 B、45万元 C、48万元 D、51万元

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5. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、72 B、64 C、48 D、32

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6. 已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 $y = f (x)$ 的图象，可把函数 $y = sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $B C = 2 A B = 2$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B E} =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 $A B = 2$ ，过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线，并用圆规在垂线上截取 $B C = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $A C$ ；（2）以 $C$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交 $A C$ 于点 $D$ ；（3）以 $A$ 为圆心，以 $A D$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $E$ ．则点 $E$ 即为线段 $A B$ 的黄金分割点．若在线段 $A B$ 上随机取一点F，则使得 $B E \leq A F \leq A E$ 的概率约为（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、0.236 B、0.382 C、0.472 D、0.618

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9. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1 ， 2)$ ，且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 1) < 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(－ \infty, 0) \cup^{} (2, + \infty)$ D、 $(－ \infty, - 2) \cup^{} (0, + \infty)$

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10. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 $F$ ，若 $Δ A B F$ 的面积为 $4 a^{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个定点， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C = 2$ ， $P$ 为球 $O$ 的球面上的动点，记三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，若 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的最大值为3，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $6 π$

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12. 若关于 $x$ 的不等式 ${(\frac{1}{x})}^{\frac{λ}{x}} \leq \frac{1}{9}$ 有正整数解，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x - 1 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最大值为．

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14. 若 ${(\frac{3}{x} - \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中 $x$ 的系数为．

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15. 已知点 $E$ 在 $y$ 轴上，点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，直线 $E F$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $M$ 为线段 $E F$ 的中点，且 $| N F | = 12$ ，则 $p =$ ．

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三、解答题

16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 为其对角线，已知 $B C = 1$ ，且 $cos ∠ B C D = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、若 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ，且 $A B = 2$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $∠ C B D = 45^{\circ}$ ，求 $C D$ 的长．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的菱形， $∠ B A D = 45^{\circ}$ ， $P D = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点， $E$ 为 $A M$ 的中点，点 $F$ 在线段 $P B$ 上，且 $P F = 3 F B$ .

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若平面 $P D C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D ⊥ D C$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的中心在坐标原点 $O$ ，其右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 是椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的任意一点，直线 $M F$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $N$ ，直线 $M B$ 交直线 $x = 4$ 于 $Q$ 点，求证： $A$ ， $N$ ， $Q$ 三点在同一条直线上．

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19. 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：

(1)、将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；

(2)、针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：

会员等级

消费金额

普通会员

2000

银卡会员

2700

金卡会员

3200

预计去年消费金额在 $(0 ， 1600]$ 内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 $(1600 ， 3200]$ 内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 $(3200 ， 4800]$ 内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：

方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.

方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .

以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - \frac{a}{x} - 2)$ ，其定义域为 $(0 ， + \infty)$ .（其中常数 $e = 2.71828 \dots$ ，是自然对数的底数）

(1)、求函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 为定义域上的增函数，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 4 e$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ .

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21. 选修 4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 cos θ$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、若点 $P$ 为直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，求 $\frac{1}{| P A |^{2}} + \frac{1}{| P B |^{2}}$ 的取值范围．

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22. 选修 4－5：不等式选讲：设函数 $f (x) = | x + 1 | + | x － 2 |$ ， $g (x) = - x^{2} + m x + 1$ ．

(1)、当 $m = - 4$ 时，求不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 在 $[- 2, - \frac{1}{2}]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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$x$ （单位：万元）	0	1	2	3	4
$y$ （单位：万元）	10	15	20	30	35

会员等级	消费金额
普通会员	2000
银卡会员	2700
金卡会员	3200