广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题

试卷更新日期：2019-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | {log}_{2} x 〉 0}, B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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2. 已知 $a \in R, i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{a + 2 i}{1 + i}$ ，若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、2 C、 $- 2$ D、1

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3. 已知离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

$\frac{8}{27}$

$\frac{4}{9}$

$m$

$\frac{1}{27}$

则X的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 已知向量 $\vec{a} = (3, 1), \overset{⇀}{b} = (1, 3), \vec{c} = (k, - 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{c}) / / \overset{⇀}{b}$ ，则向量 $\vec{a} + \overset{⇀}{b}$ 与向量 $\vec{c}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 一动圆的圆心在抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上，且动圆恒与直线 $x + 2 = 0$ 相切，则此动圆必过定点（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 0)$

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6. 将函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}]$ 上的最小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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7. 将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{3}{40}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{9}{40}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是四边形 $A B C D$ 的中心，关于直线 $A_{1} O$ ，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} O / / D_{1} C$ B、 $A_{1} O ⊥ B C$ C、 $A_{1} O / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ D、 $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$

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9. 若函数 $f (x) = e^{x} (cos x - a)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点，与双曲线的渐近线交于 $C, D$ 两点，若 $| A B | \geq \frac{3}{5} | C D |$ ，则双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{3}, + \infty)$ B、 $[\frac{5}{4}, + \infty)$ C、 $(1, \frac{5}{3}]$ D、 $(1, \frac{5}{4}]$

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11. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 30 °, △ A P C$ 的面积为2，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球体积的最小值为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $64 π$ D、 $4 π$

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12. 定义在 $[\frac{1}{π} ， π]$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，且当 $x \in [\frac{1}{π} ， 1]$ 时， $f (x) = ln x$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a x$ 在 $[\frac{1}{π} ， π]$ 上有零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{ln π}{π} ， 0]$ B、 $[- \frac{e}{2} ， - \frac{1}{π}]$ C、 $[- \frac{1}{e} ， \frac{ln π}{π}]$ D、 $[- π ln π ， 0]$

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq - 1 \\ x - y \geq 2 \\ 3 x + y \leq 14 \end{matrix}$ ，则 $z = 4 x + y$ 的最大值为．

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14. 已知 $tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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15. 在 ${(1 - a x + x^{2})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为30，则实数 $a$ 的值为．

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16. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a = 1$ ，且 $(b c - 2) cos A + a c cos B = 1 - b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n a_{n} + 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 4$ ．

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18. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 菱形 $A B C D$ 所在的平面， $∠ A B C = 60 ° ， E$ 是 $B C$ 中点， $F$ 是 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $M$ 是 $P D$ 的中点，当 $A B = A P$ 时，是否存在点 $F$ ，使直线 $E M$ 与平面 $A E F$ 的所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ？若存在，请求出 $\frac{P F}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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19. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布

N (32 ， 16)

．

(1)、购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？

(2)、2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（万元）	13	22	31	42	50	56	58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： $\hat{y} = 4.1 x + 11.8$ ；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： $y = b \sqrt{x} + a$ 的附近，对人工投入增量x做变换，令 $t = \sqrt{x}$ ，则 $y = b \cdot t + a$ ，且有 $\bar{t} = 2.5 ， \bar{y} = 38.9 ， \sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 81.0 ， \sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 3.8$ ．

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；

（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 $R^{2}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\hat{y} = 4.1 x + 11.8$	$y = b \sqrt{x} + a$
$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	182.4	79.2

附：若随机变量 $Z ～ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9987}^{10} \approx 0.9871$ ；

样本 $(t_{i} ， y_{i}) (i ＝ 1 ， 2 ， \dots ， n)$ 的最小二乘估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ，

另，刻画回归效果的相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $C$ 上， $| A F_{1} | = 2$ ， $∠ F_{1} A F_{2} = 60 °$ ，过 $F_{2}$ 与坐标轴不垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $P, Q$ 的中点为 $N$ ，在线段 $O F_{2}$ 上是否存在点 $M (m, 0)$ ，使得 $M N ⊥ P Q$ ？若存在，请求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 已知 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + a x + (x - 2) e^{x} (a > 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在3个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. （选修4—4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = a + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数， $a > 0$ ）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、设 $P$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若曲线 $C$ 上任意一点 $(x ， y)$ 都满足 $y \geq | x | + 2$ ，求 $a$ 的取值范围．

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23. （选修4—5：不等式选讲）
已知函数 $f (x) = | 2 x + k | + | x - 2 | (k \in R)$ ．

(1)、若 $k = 4$ ，求不等式 $f (x) \geq x^{2} - 2 x - 4$ 的解集；

(2)、设 $k < - 4$ ，当 $x \in [- 1, 2]$ 时都有 $f (x) \geq x^{2} - 2 x + 4$ ，求 $k$ 的取值范围．

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X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$m$	$\frac{1}{27}$