福建省龙岩市2019届高三下学期文数教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - x}}, B = {x | 3^{x} - 1 > 0}$ ，则（）

A、 $A \cap^{} B = {x | x \leq 0}$ B、 $A \cup^{} B = R$ C、 $A \cup^{} B = {x | x \geq 1}$ D、 $A \cap^{} B = {x | x > 1}$

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2. $m \in R ， i$ 为虚数单位，若 $(m + 2 i) (2 - i) = 4 + 3 i$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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3. 母线长为 $5$ 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 $\frac{8 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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4. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一个焦点为 $(2 ， 0)$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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5. 已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y - 2 \geq 0 ， \\ x - y + 3 \geq 0 ， \\ x - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、 $- 9$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、4 D、6

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7. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $9$

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8. 一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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9. 若 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 s i n α + 2 cos α = 2$ ，则 $tan \frac{α}{2}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的底面是边长为3的正三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $P A = 2$ ，则该三棱锥的外接球的体积是（）

A、 $48 π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $18 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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11. 若函数 $f (x) = sin \frac{ω x}{2} sin （ \frac{ω x}{2} + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 内有且仅有一个最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $[1 ， 5)$ C、（0， $\frac{9}{2}$ ） D、 $[1 ， \frac{9}{2})$

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12. 已知f(x)= ${\begin{matrix} \frac{l n x}{x} ， x \geq 1 \\ - {(x - 1)}^{3} ， x < 1 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) - 1 - m = 0$ 恰好有 4 个不相等的实数解，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $（ - 1 ， \frac{1}{e} - 1)$ B、（ $- 1 - \frac{1}{e} ， - 1$ ） C、 $(1 ， \frac{1}{e} + 1)$ D、（0， $\frac{1}{e}$ ）

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (x, 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ ．

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14. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \sqrt{5}$ , $c = 2$ , $cos B = \frac{2}{3}$ ，则 $A =$ ．

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15. 设函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = （ \frac{1}{3} ）^{x + a}$ 的图象关于直线 $y = - x$ 对称，且 $f (- 3) + f (- \frac{1}{3}) = 4$ ，则实数 $a =$ ．

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{2} ， 0)$ ，存在直线y=t与椭圆C交于A，B两点，使得 $△ ABF$ 为顶角是 $150 °$ 的等腰三角形，则其长轴长为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $S_{6} = 36$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图1，已知菱形 $A E C D$ 的对角线 $A C ， D E$ 交于点 $F$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将三角形 $A D E$ 沿线段 $D E$ 折起到 $P D E$ 的位置， $P C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，如图2所示．

（Ⅰ）证明：平面 $P B C$ $⊥$ 平面 $P C F$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $E - P B C$ 的体积．

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19. 中国人民大学发布的《中国大学生创业报告》显示，在国家“双创”政策的引导下，随着社会各方对于大学生创业实践的支持力度不断加强，大学生创业意向高涨，近九成的在校大学生曾考虑过创业，近两成的学生有强烈的创业意向. 数据充分表明，大学生正以饱满的热情投身到创新创业的大潮之中，大学生创业实践正呈现出生机勃勃的态势。小张大学毕业后从2008年年初开始创业，下表是2019年春节他将自己从2008—2018年的净利润按年度给出的一个总的统计表（为方便运算，数据作了适当的处理，单位：万元）．

年度	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年份序号 $t$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
利润 $y$	6	7	8	9	10	10	11	12	13	13	14

（Ⅰ）散点图如图所示，根据散点图指出年利润 $y$ （单位：万元）和年份序号 $t$ 之间是否具有线性关系？并用相关系数说明用线性回归模型描述年净利润 $y$ 与年份序号 $t$ 之间关系的效果；

（Ⅱ）试用线性回归模型描述年净利润 $y$ 与年份序号 $t$ 之间的关系：求出年净利润 $y$ 关于年份序号 $t$ 的回归方程（系数精确到0.1），并帮小张估计他2019年可能赚到的净利润．

附注：参考数据 $\bar{y} = 10.3 ， \sum_{i = 1}^{11} t_{i} y_{i} = 764 ， \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 8.3 ， \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} = 10.5$ ．

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \cdot \bar{t} \cdot \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ． $| r | \leq 1$ 且 $| r |$ 越大拟合效果越好．回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ 斜率的最小二乘法估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} （ t_{i} - \bar{t})^{2}}$ .

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ， $Δ F_{1} F_{2} F$ 为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求 $p$ 的值；

（Ⅱ）已知过点 $E (- 2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，又过 $A ， B$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，问这样的直线 $l$ 是否存在？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a (x + 1) e^{x}$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = 3 x + b$ ，求 $a ， b$ 的值；

（Ⅱ）当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq x^{2} + 4 x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < \frac{π}{2}$ ），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ cos θ - 2 ρ sin θ - 4 = 0$ ．

（Ⅰ）求直线 $l$ 的普通方程、曲线 $C$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $| A B | = 2$ ．求 $α$ 的大小.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x - m | (m \in R)$ ．

（Ⅰ）当 $m = 2$ 时，解不等式 $f (x) > 7 - | x - 1 |$ ；

（Ⅱ）若存在 $x \in R$ ，使 $f (x) > 7 + | x - 1 |$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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