安徽省江南十校2019届高三理数3月综合素质检测试卷

试卷更新日期：2019-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $A = {x | x^{2} 〉 1, x \in U}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${- 2, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 2, 0, 2}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 抛物线y=2x²的焦点坐标是（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（0， $\frac{1}{8}$ ） D、（ $\frac{1}{8}$ ，0）

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4. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b = 2 \sqrt{7}$ ， $c = 3$ ， $B = 2 C$ ，则 $cos 2 C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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5. 已知边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ 满足 $\overset{⇀}{B E} = 2 \overset{⇀}{E C}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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6. 我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 $y = x^{2} (0 \leq y \leq L)$ 绕 $y$ 轴旋转一周得几何体 $Z$ ，将 $Z$ 放在与 $y$ 轴垂直的水平面 $α$ 上，用平行于平面 $α$ ，且与 $Z$ 的顶点 $O$ 距离为 $l$ 的平面截几何体 $Z$ ，得截面圆的面积为 $π {(\sqrt{l})}^{2} = π l$ .由此构造右边的几何体 $Z_{1}$ ：其中 $A C ⊥$ 平面 $α$ ， $A C = L$ ， $A A_{1} \subset α$ ， $A A_{1} = π$ ，它与 $Z$ 在等高处的截面面积都相等，图中 $E F P Q$ 为矩形，且 $P Q = π$ ， $F P = l$ ，则几何体 $Z$ 的体积为（）

A、 $π L^{2}$ B、 $π L^{3}$ C、 $\frac{1}{2} π L^{2}$ D、 $\frac{1}{2} π L^{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $4 π$ ，则下面结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

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8. 设函数 $f (x) = x^{2} \cdot \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ ，则不等式 $f (3 {log}_{2} x) + f (1 - {log}_{2} x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2}, + \infty)$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为右支上一点且直线 $P F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线恰好过点 $(1, 0)$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{k}{x}$ ， $g (x) = \frac{4 x - e ln x}{x}$ （ $e$ 是自然对数的底数），若对 $\forall x_{1} \in (0 ， 1)$ ， $\exists x_{2} \in [1 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则正数 $k$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $4 - 2 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（）

A、20 B、 $20 + \frac{π}{4}$ C、 $20 + \frac{3 π}{4}$ D、 $20 + \frac{5 π}{4}$

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12. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第 $k$ 个0和第 $k + 1$ 个0之间有 $2 k + 1$ 个1（ $k \in N^{*}$ ），即 $\underset{2019 个}{\underset{⏟}{101110111110 ..}}$ ，则该数的所有数字之和为（）

A、1973 B、1974 C、1975 D、1976

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二、填空题

13. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值为．

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14. 已知 $\frac{sin α \cdot cos α}{1 + 3 {cos}^{2} α} = \frac{1}{4}$ ，且 $tan (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $tan β$ 的值为．

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15. 在 ${(x + y + z)}^{6}$ 的展开式中，所有形如 $x^{a} y^{b} z^{2} (a, b \in N)$ 的项的系数之和是（用数字作答）.

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16. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = A D = B C = B D = 10$ ， $A B = 8$ ， $C D = 12$ ，点 $P$ 在侧面 $A C D$ 上，且到直线 $A B$ 的距离为 $\sqrt{21}$ ，则 $P B$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} = 2 b_{n} (n \in N^{*})$ ，且 ${a_{n}}$ 为正项等比数列， $a_{1} = 2$ ， $b_{3} = b_{2} + 4$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n} b_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < 1$ .

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18. 斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的正三角形， $A_{1} B = \sqrt{7}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60 °$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

（Ⅱ）求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年生产台数（万台）	2	3	4	5	6	7	10	11
该产品的年利润（百万元）	2.1	2.75	3.5	3.25	3	4.9	6	6.5
年返修台数（台）	21	22	28	65	80	65	84	88
部分计算结果： $\bar{x} = \frac{1}{8} \sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 6$ ， $\bar{y} = \frac{1}{8} \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 4$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 72$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 18.045$ ， $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 34.5$

注： $年返修率 = \frac{年返修台数}{年生产台数}$

（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以 $ξ$ 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润 $y$ （百万元）关于年生产台数 $x$ （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.

附：线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ .

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20. 设 $O$ 是坐标原点，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r \geq 3)$ ，椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，短轴长为4.平行 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 和圆 $O$ 在 $y$ 轴右侧的交点分别为 $E$ ， $F$ ，直线 $A E$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B E$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）当 $12 \leq \overset{⇀}{F M} \cdot \overset{⇀}{F N} \leq 16$ 时，求 $r$ 的取值范围.

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21. 已知定义在区间 $(0 ， 2)$ 上的函数 $f (x) = \frac{m}{x} + ln x$ ， $m \in R$ .
（Ⅰ）证明：当 $m = 1$ 时， $f (x) \geq 1$ ；

（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 过点 $A (1 ， 0)$ 的切线有两条，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{10} c o s α \\ y = 4 + \sqrt{10} s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ cos θ = 5$ .

（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）点 $P (m, n)$ 为曲线 $C_{2}$ 上一点，若曲线 $C_{1}$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，求 $n$ 的取值范围.

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23. [选修4-5：不等式选讲]
设函数 $f (x) = lg (| 2 x - 1 | + 2 | x + 1 | - a)$ .

（Ⅰ）当 $a = 4$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围.

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