安徽省定远重点中学2019届高三下学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $P = {y | y = 1 - x^{2}, x \in R}$ ， $Q = {x | | x | \leq 1, x \in R}$ ，则 $P \cap^{} Q =$ （）

A、 ${(- 1, 0), (0, 1), (1, 0)}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 $(- \infty, 1]$

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2. 已知 $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $z = \sqrt{3} + a i$ ， $z \cdot \bar{z} = 4$ ，则 $a$ 为（）

A、 $1$ 或 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、不存在的实数

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3. “ $lg m > lg n$ ”是“ ${(\frac{1}{2})}^{m} < {(\frac{1}{2})}^{n}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $(S_{n + 1} - S_{n}) a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2018} =$ （）

A、 $3 (2^{1009} - 1)$ B、 $\frac{3}{2} (2^{1009} - 1)$ C、 $3 (2^{2018} - 1)$ D、 $\frac{3}{2} (2^{2018} - 1)$

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 57$ ，则判断框内应填入的条件是（）

A、 $k > 4$ B、 $k > 5$ C、 $k > 6$ D、 $k > 7$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ,四点 $P_{1} (4, 2), P_{2} (2, 0)$ ， $P_{3} (- 4, 3), P_{4} (4, 3)$ 中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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7. 2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆 $.$ 全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是 $($ $)$

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{4}{11}$ D、 $\frac{11}{12}$

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8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）

A、 $4$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 + 4 \sqrt{2}$ D、 $2$

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9. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x - 2 y - 5 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ 3 x + y - 10 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $10$ C、 $8$ D、 $5$

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10. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{x (e^{x} - 1)}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3} ， \sqrt{2})$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = ($ $)$

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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12. 定义：如果函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，在区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{1}$ ， $x_{2} (a < x_{1} < x_{2} < b)$ 使得 $f' (x_{1}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ， $f' (x_{2}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $[a ， b]$ 上的“双中值函数“ $.$ 已知函数 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{m}{2} x^{2}$ 是 $[0 ， 2]$ 上的“双中值函数“，则实数m的取值范围是 $($ $)$

A、 $[\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$ B、 $(- \infty ， + \infty)$ C、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{8}{3})$

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二、填空题

13. 已知 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1)$ $+ a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ 则 $a_{2} =$ ．

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14. 若随机变量 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < z \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < z \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ .已知随机变量 $X \sim N (6, 4)$ ，则 $P (2 < X \leq 8)$ ．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{6} ， A C = \sqrt{5} ， D$ 是 $A B$ 边上一点， $C D = 2 ， Δ A C D$ 的面积为 $2$ ， $∠ A C D$ 为锐角，则 $B C =$ ．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过椭圆上一点 $M$ 作直线 $M A, M B$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，且斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若点 $A, B$ 关于原点对称，则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值为.

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三、解答题

17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{b^{2} - a^{2} - c^{2}}{a c} = \frac{c o s A}{s i n A c o s A}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求bc的取值范围．

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18. 已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n_＋₁＝a_n＋ $\frac{c}{a_{n}}$ （c＞0，n∈N*），
（Ⅰ）证明：a_n_＋₁＞a_n≥1；

（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有 $a_{n} \geq (c - \frac{1}{2}) n - 1$ ,证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时， $a_{n} \leq \frac{c}{a_{m}} (n - m) + a_{m}$

（ⅱ） $a_{n} \leq \frac{\sqrt{5 n - 1}}{2}$

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19. 如图，在多面体 $E F - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D ， A D = D C = C B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，平面 $A C E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A C E F$ 是菱形， $∠ C A F = 60 °$ .

(1)、求证： $B F ⊥ A E$ ；

(2)、求二面角 $B - E F - D$ 的平面角的正切值.

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20. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15

\sim

65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：

年龄	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$
支持“延迟退休”的人数	15	5	15	28	17

(1)、由以上统计数据填

2 \times 2

列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

	45岁以下	45岁以上	总计
支持
不支持
总计

(2)、若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人

①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.

②记抽到45岁以上的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + x ， a \in R$ .

(1)、令 $g (x) = f (x) - (a x - 1)$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = - 2$ ，正实数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} x_{2} = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 5. |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) - t \geq x^{2} - x$ 的解集非空，求 $t$ 的取值范围.

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