湖北省恩施州2019届高三理数2月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-04-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 15 < 0}$ ， $B = {x | x \geq e}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $[e, 5)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup^{} [e, + \infty)$ C、 $(- 3, + \infty)$ D、 $(5, + \infty)$

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2. 已知 $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ ， $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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3. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）

A、9 B、16 C、18 D、20

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\overset{⇀}{b} = (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、-1

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5. 阅读下图的程序框图，若输出的 $S$ 的值等于26，那么在程序框图中的空白赋值框、判断框内应依次填写的为（）

A、 $i = i + 2$ ， $i > 8$ B、 $i = i + 2$ ， $i > 9$ C、 $i = i + 1$ ， $i > 8$ D、 $i = i + 1$ ， $i > 9$

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6. 直线 $y = 4 x$ 与曲线 $y = x^{3}$ 在第一象限围成的封闭图形面积为 $a$ ，则 ${(\frac{a}{x} - \sqrt{x})}^{5}$ 展开式中， $x$ 的系数为（）

A、20 B、-20 C、5 D、-5

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7. 函数 $f (x) = | x | cos x$ 的部分图像为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设 $a = {log}_{0.1} 2$ ， $b = {log}_{30} 2$ ，则（）

A、 $4 a b > 2 (a + b) > 3 a b$ B、 $4 a b < 2 (a + b) < 3 a b$ C、 $2 a b < 3 (a + b) < 4 a b$ D、 $2 a b > 3 (a + b) > 4 a b$

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9. 某圆锥的母线长为2，高为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，其三视图如下图所示，圆锥表面上的点 $M$ 在正视图上的对应点为 $A$ ，圆锥表面上的点 $N$ 在侧视图上的对应点为 $B$ ，则在此圆锥侧面上，从 $M$ 到 $N$ 的路径中，最短路径的长度为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{3}}$ D、 $2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

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10. 已知 $M (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上的一点，半焦距为 $c$ ，若 $| M O | \leq c$ （其中 $O$ 为坐标原点），则 $y_{0}^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{b^{4}}{c^{2}}]$ B、 $[0, \frac{a^{4}}{c^{2}}]$ C、 $[\frac{b^{4}}{c^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{a^{2}}{c^{2}}, + \infty)$

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11. 已知角 $α, β$ 的顶点都为坐标原点，始边都与 $x$ 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角， $α, β$ 终边上分别有点 $A (1, a)$ ， $B (2, b)$ ，且 $α = 2 β$ ，则 $\frac{1}{a} + b$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1}$ ，则下列结论不正确的为（）

A、平面 $A_{1} B_{1} C D ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ B、存在平面 $A_{1} B_{1} C D$ 上的一点 $P$ 使得 $D_{1} P ∥$ 平面 $B C_{1} D$ C、存在直线 $A_{1} C$ 上的一点 $Q$ 使得 $D_{1} Q ∥$ 平面 $B C_{1} D$ D、存在直线 $A_{1} C$ 上的一点 $R$ 使得 $D_{1} R ⊥$ 平面 $B C_{1} D$

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 4 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - x + y$ 的最小值为．

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14. 将4位女生和4位男生分为两组参加不同的两个兴趣小组，一组3个男生1个女生，余下的组成另外一组，则不同的选法共有种（用数字填写答案）．

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15. 过抛物线 $y^{2} = m x (m > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆与准线 $l$ 有公共点 $M$ ，若 $| M F | = \sqrt{2}$ ，则 $| A B | =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = x^{2} - k (x + 1) e^{x} (k \in R)$ ，若 $\forall x \in (- \infty ， 0) \cup^{} (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 成立，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的一点， $A B = 3$ ， $B D = 2 D C$ ， $cos ∠ B A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $cos ∠ D A C = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某校的1000名高三学生参加四门学科的选拔考试，每门试卷共有10道题，每题10分，规定：每门错

x (0 \leq x \leq 1)

题成绩记为

A

，错

x (2 \leq x \leq 4)

题成绩记为

B

，错

x (5 \leq x \leq 7)

题成绩记为

C

，错

x (8 \leq x \leq 10)

题成绩记为

D

，在录取时，

A

记为90分，

B

记为80分，

C

记为60分，

D

记为50分.

根据模拟成绩，每一门都有如下统计表：

答错

题数

频数

100

150

200

100

已知选拔性考试成绩与模拟成绩基本吻合.

(1)、设

ξ

为高三学生一门学科的得分，求

ξ

的分布列和数学期望；

(2)、预测考生4门总分为320概率.

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19. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，其中 $P$ 为棱 $C C_{1}$ 上的中点， $Q$ 为棱 $C C_{1}$ 上且位于 $P$ 点上方的动点.

(1)、证明： $B P ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B Q$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\sqrt{\frac{2}{51}}$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $R$ 为短轴的一个端点，且 $Δ R F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .设过原点的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的一点，且直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率都存在， $k_{P A} k_{P B} = - \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设 $Q$ 为椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $Q F_{1} ⊥ x$ 轴， $M$ 、 $N$ 为曲线 $C$ 上不同于 $Q$ 的两点，且 $∠ M Q F_{1} = ∠ N Q F_{1}$ ，设直线 $M N$ 与 $y$ 轴交于点 $D (0, d)$ ，求 $d$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - a x (x - 1)$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，探究 $f^{'} (x)$ 零点的个数；

(2)、①证明： $f (x) + (x - 1) (a x - 1) \leq 0$ ；
②当 $a > 0$ 时，证明： $f (x) \leq \frac{2 + a}{\sqrt{a^{2} + 8 a} - a} - \frac{3}{2}$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t, \\ y = 8, \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s φ, \\ y = 2 + 2 s i n φ, \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数）以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $l$ 和圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $O M$ ： $θ = α$ （其中 $0 < α < \frac{π}{2}$ ）与圆 $C$ 交于 $O$ ， $P$ 两点，与直线 $l$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{| O P |}{| O M |}$ 的取值范围.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = (a - a^{2}) x + 4$ ， $g (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 时，求不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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