2016-2017学年河南省驻马店市正阳二中高三下学期开学数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-05-09 类型：开学考试

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一、一.选择题：

1. 已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）² ，则|z|为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 数列{a_n}中，a₂=2，a₆=0且数列{ $\frac{1}{a_{n} + 1}$ }是等差数列，则a₄=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 6 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）

A、a≥1 B、a≤﹣1 C、﹣1≤a≤1 D、a≥1或a≤﹣1

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4. 设F₁ ， F₂分别为双曲线 $ {\frac{x^{2}}{a^{2}}}^{} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF₂|=|₁FF₂|，F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

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5. 有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（　　）个．

A、78 B、102 C、114 D、120

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6. 已知点O为△ABC的外心，且 $| \vec{B A} | = 2 ， | \vec{B C | = 6}$ ， $\vec{B O} \cdot \vec{A C}$ 则=（）

A、﹣32 B、﹣16 C、32 D、16

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7. 在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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9. 若sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣α）= $\frac{1}{3}$ ，则2cos²（ $\frac{π}{6}$ + $\frac{α}{2}$ ）﹣1=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、- $\frac{7}{9}$

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10. 已知a∈R，若f（x）=（x+ $\frac{a}{x}$ ）e^x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）

A、a＞0 B、a≤1 C、a＞1 D、a≤0

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若 $\vec{O P}$ =λ $\vec{O A}$ +μV（λ，μ∈R），λμ= $\frac{1}{16}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、3 D、2

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12. 对于函数f（x）= $\frac{x - 1}{x + 1}$ ，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n₊₁（x）=f[f_n（x）]（n∈N^* ，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₃₆（x）=x，x∈R}，则集合M为（）

A、空集 B、实数集 C、单元素集 D、二元素集

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二、二.填空题：

13. 设正实数x，y满足x+y=1，则x²+y²+ $\sqrt{x y}$ 的取值范围为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b²+c²﹣a²=bc=1，cosBcosC=﹣ $\frac{1}{8}$ ，则△ABC的周长为

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15. 已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x²及x轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自图形Ω的概率为．

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16. 已知函数f（x）=e^x（x﹣ae^x）有两个极值点，则实数a的取值范围是．

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三、三.解答题：

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且对任意正整数n，都有a_n= $\frac{3}{4} s_{n}$ +2成立．

(1)、记b_n=log₂a_n ，求数列{b_n}的通项公式；

(2)、设c_n= $\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= $\frac{1}{2}$ AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

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19. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．

(1)、求N和[30，35）这组的参加者人数N₁；

(2)、已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；

(3)、组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．

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20. 已知函数f（x）=x+ $\frac{a}{x}$ +lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）﹣x的零点个数．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且点P（2，1）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．

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22. 已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．

(1)、直线l过原点，且它的倾斜角α= $\frac{3 π}{4}$ ，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；

(2)、直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．

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23. 已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a²﹣a﹣2．

(1)、当a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；

(2)、当x∈[﹣a，1）时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．

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