2015-2016学年上海市长宁区延安中学高三下学期开学数学试卷

试卷更新日期：2017-05-09 类型：开学考试

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一、一.填空题

1. 计算： $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{4 - 3 n}{2 n + 1}$ = ．

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2. 已知函数y= $\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{\log_{2} (| x | + x)}$ ，则它的定义域是．

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3. 已知tanθ=2，则sin2θ+sec²θ的值为．

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4. 复数z满足 $\frac{1 + z}{1 - z}$ =i，则|z|= ．

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5. 若函数f（x）=8^x的图象经过点 $(\frac{1}{3} ， a)$ ，则f^﹣¹（a+2）= ．

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6. 已知（ $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{a}{\sqrt{x}}$ ）⁵的展开式中含x $^{\frac{3}{2}}$ 的项的系数为30，则实数a= ．

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7. 不等式 $| \begin{matrix} a x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{matrix} |$ ＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．

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8. 等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比为q（|q|＜1），满足a₂+a₃+…+a_n+…≤ $\frac{a_{1}}{2}$ ，则公比q的取值范围是．

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9. 设双曲线x²﹣y²=6的左右顶点分别为A₁、A₂ ， P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA₁、PA₂的斜率分别为k₁、k₂ ，则k₁•k₂的值为．

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10. 从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数，则使得 $\frac{f (1)}{2}$ ∈Z的概率为．

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11. 数列{a_n}满足a_n+1+（﹣1）ⁿa_n=2n﹣1，则{a_n}的前60项和为．

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12. 在三棱锥P﹣ABC中，∠APC=∠CPB=∠BPA= $\frac{π}{2}$ ，并且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．

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13. 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2^x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是．

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14. 如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量 $\vec{A P}$ =m $\vec{A B}$ +n $\vec{A F}$ （m，n∈R），则m+n的取值范围是．

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二、选择题：

15. 下列命题是真命题的是（）

A、有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B、正四面体是四棱锥 C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥 D、正四棱柱是平行六面体

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16. 若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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17. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N^*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．有下列函数：
①f（x）=sin2x；
②g（x）=x³；
③h（x）=（ $\frac{1}{3}$ ）^x；
④φ（x）=lnx．
其中是一阶整点函数有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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18. 设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A、（1，3） B、（1，4） C、（2，3） D、（2，4）

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三、解答题：

19. 已知在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°的角．

(1)、求点C₁到平面AB₁C的距离；

(2)、求二面角B﹣B₁C﹣A的余弦值．

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20. 已知函数f（x）=4 $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣4sin²x+1．

(1)、求函数f（x）的最大值及此时x的值；

(2)、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求 $\vec{A B}$ $\cdot \vec{A C}$ 的最大值．

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21. 我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位：元）与市场供应量P之间满足关系式：P=2 $^{(1 - k t) {(x - b)}^{2}}$ ，其中b，k为正常数，当t=0.75时，P关于x的函数的图象如图所示：

(1)、试求b，k的值；

(2)、记市场需求量为Q，它近似满足Q（x）=2^﹣^x ，当时P=Q，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．

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22. 给定椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为 $F (\sqrt{2} ， 0)$ ，其短轴上的一个端点到F的距离为 $\sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁ ， l₂ ，使得l₁ ， l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁ ， l₂分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁ ， l₂的方程；
②求证：|MN|为定值．

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23. 已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n_﹣₂=2S_n_﹣₁+2ⁿ^﹣¹（n≥3）．令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x^﹣¹ ，求证： $T_{n} = b_{1} f (1) + b_{2} f (2) + \dots + b_{n} f (n) < \frac{1}{6}$ （n≥1）；
（Ⅲ）令 $T_{n} = \frac{1}{2} (b_{1} a + b_{2} a^{2} + b_{3} a^{3} + \dots {+b}_{n} a^{n})$ （a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有 $T_{n} < \frac{1}{6}$ ；②对于任意的 $m \in (0 ， \frac{1}{6})$ ，均存在n₀∈N^* ，使得n≥n₀时，T_n＞m．

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