2016-2017学年山西省重点中学协作体高三上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2017-05-09 类型：开学考试

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一、选择题

1. 设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{2 π}$ B、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{π}$ C、 $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{π}$

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2. 已知集合A={x|x=4n+1，n∈Z}B={x|x=4n﹣3，n∈z}，C={x|x=8n+1，n∈z}，则A，B，C的关系是（）

A、C是B的真子集、B是A的真子集 B、A是B的真子集、B是C的真子集 C、C是A的真子集、A=B D、A=B=C

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3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A、y=0 B、y=sin2x C、y=x+lgx D、y=2^x+2^﹣^x

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4. 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 $\frac{1}{2}$ ．则该几何体的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数f（x）=Asin（ωx+φ） $(A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若 $x 1 ， x 2 \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ ，且f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），则f（x₁+x₂）=（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知f（x）= ${\begin{cases} \cos (π x) ， x \leq 0 \\ f (x - 1) ， x > 0 \end{cases}$ ，则f（ $\frac{4}{3}$ ）+f（﹣ $\frac{4}{3}$ ）的值为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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9. 已知数{a_n}满a₁=0，a_n+1=a_n+2n，那a₂₀₁₆的值是（　　）

A、2014×2015 B、2015×2016 C、2014×2016 D、2015×2015

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10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM= $\frac{1}{3}$ AB，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D B}$ 等于（）

A、﹣1 B、1 C、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 如图，F₁、F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、4 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角保型函数”，给出下列函数：
①f（x）= $\sqrt{x}$ ；②f（x）=x²；③f（x）=2x；④f（x）=lgx，
其中是“三角保型函数”的是（）

A、①② B、①③ C、②③④ D、③④

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二、填空题

13. 设x，y满足不等式组 ${\begin{cases} x + y - 6 \leq 0 \\ 2 x - y - 1 \leq 0 \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \end{cases}$ ，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为．

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14. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是．

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15. 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，则a= ．

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16. 若线性回归方程为y=2﹣3.5x，则变量x增加一个单位，变量y平均减少个单位．

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三、解答题

17. 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

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18. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．

(1)、求证：MN∥平面CDEF；

(2)、求多面体A﹣CDEF的体积．

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19. 在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

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20. 已知f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ，其中 $\vec{a}$ =（2cosx，﹣ $\sqrt{3}$ sin2x）， $\vec{b}$ =（cosx，1）（x∈R）．

(1)、求f（x）的周期和单调递减区间；

(2)、在△ABC 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a= $\sqrt{7}$ ， $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =3，求边长b和c的值（b＞c）．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，并且经过定点P（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ = $\frac{12}{5}$ ，若存在求m值，若不存在说明理由．

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22. 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

(1)、当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

(2)、若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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