山西省吕梁市2019届高三上学期文数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x \in Z | 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B$ 的元素个数（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 + 2 i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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3. 设 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $4^{x} - 2^{x} - a = 0$ 有解； $q$ ：关于 $x$ 的不等式 ${log}_{2} (x + a - 2) > 0$ 对于 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 我国古代数学家刘徽创立了“割圆术”用于计算圆周率 $π$ 的近似值，即用圆内接正 $n$ 边形的面积代替圆的面积，当 $n$ 无限增大时，多边形的面积无限接近圆的面积。设 $A_{1} A_{2} ...... A_{12}$ 是圆内接正十二边形，在一次探究中，某同学在圆内随机撒一把米（共100粒），统计出正十二边形 $A_{1} A_{2} ...... A_{12}$ 内有95粒，则可以估计 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{64}{21}$ C、 $\frac{60}{19}$ D、 $\frac{355}{113}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A、 $(20 + 8 \sqrt{5}) π$ B、 $24 π$ C、 $(16 + 4 \sqrt{5}) π$ D、 $(20 + 4 \sqrt{5}) π$

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6. 函数 $f (x) = x sin x + ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 执行下面的程序框图，为使输出 $y$ 等于1，则输入的 $x$ 值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ 或4 B、 $\pm \sqrt{2}$ 或4 C、 $\sqrt{2}$ 或2 D、 $\pm \sqrt{2}$ 或2

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $tan α = \frac{cos 2 β}{1 - sin 2 β}$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{2}$ B、 $α - β = \frac{π}{4}$ C、 $α + β = \frac{π}{4}$ D、 $α + 2 β = \frac{π}{2}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $B C$ 的中点，延长 $D E$ 到 $F$ ，使 $D E = 2 E F$ ，若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{b}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{3}{2} \overset{⇀}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{b}$

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10. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最大值是0，最小值是-4，最小正周期是 $π$ ，且当 $x = \frac{π}{12}$ 时函数 $f (x)$ 取得最大值，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{5}{12} π + k π ， \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$ B、 $[- \frac{5}{6} π + k π ， \frac{π}{6} + k π] (k \in Z)$ C、 $[\frac{π}{12} + k π ， \frac{7}{12} π + k π] (k \in Z)$ D、 $[- \frac{π}{6} + k π ， \frac{7}{6} π + k π] (k \in Z)$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F_{1} F_{2}$ 分别是双曲线的左右焦点，存在一点 $M$ ， $M$ 点关于 $F_{1}$ 点的对称点是 $A$ 点， $M$ 点关于 $F_{2}$ 点的对称点是 $B$ 点，线段 $M N$ 的中点在双曲线上，则 $| N A | - | N B | =$ （）

A、 $\pm 4$ B、4 C、 $\pm 8$ D、8

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12. 四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ，且 $S A + S D = 8$ ，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A、 $20 π$ B、 $25 π$ C、 $\frac{80}{3} π$ D、 $\frac{76}{3} π$

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二、填空题

13. 在某次语文考试中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“ $A$ 没有得优秀”； $B$ 说：“我得了优秀”； $A$ 说：“ $C$ 说得是真话”。事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是．

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14. $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值．

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15. $Δ A B C$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 角的对边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其中 $b = c$ ，若 $\overset{⇀}{m} = (a^{2}, 2 b^{2})$ ， $\overset{⇀}{n} = (1, sin A - 1)$ ， $\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} = 0$ ，则 $∠ A$ 等于．

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (0) = 0$ .若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，则使得 $f (x) + e^{x} < 1$ 成立的 $x$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{a_{n}}$ ，求 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据

(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2......6)

如下表所示

日期	4月1日	4月2日	4月3日	4月4日	4月5日	4月6日
试销价 $x$ 元	9	11	10	12	13	14
产品销量 $y$ 件	40	32	29	35	44	$m$

(1)、试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

，并预测4月6日的产品销售量

m

；

(2)、若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件

B

的概率.

参考公式： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$

其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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19. 已知如图（1）直角梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，沿 $E C$ 将梯形 $A B C D$ 折起（如图2），使 $∠ B E D = 90 °$ .

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $B C D$ 的距离.

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20. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，已知直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ， $| A B | = \sqrt{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ ： $x = m y - 1$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，且点 $O$ 在以 $M N$ 为直径的圆外（其中 $O$ 为坐标原点），求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - ln x + 1$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > 3$ .

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22. 直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C_{1}$ 的方程为 $y^{2} - 4 x - 4 = 0$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}$ 与 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 8 - | x + a | - | x - b |$ ， $a$ ， $b$ 为实数.

(1)、若 $a = - 1$ ， $b = 2$ ，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为7，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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