山西省吕梁市2019届高三上学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x \in Z | 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B$ 的元素个数（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 + 2 i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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3. $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 1$ ， $a_{5}^{2} = 2 a_{7}$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、31 B、 $\frac{63}{2}$ C、63 D、 $\frac{31}{2}$

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4. 设 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $4^{x} - 2^{x} - a = 0$ 有解； $q$ ：函数 $f (x) = {log}_{2} (x + a - 2)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上恒为正值，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x sin x + ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = {log}_{3} 5$ ， $b = {1.5}^{1.5}$ ， $c = ln 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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7. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $tan α = \frac{cos 2 β}{1 - sin 2 β}$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{2}$ B、 $α + β = \frac{π}{4}$ C、 $α - β = \frac{π}{4}$ D、 $α + 2 β = \frac{π}{2}$

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8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{11}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、5

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9. 如图在 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为边 $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $A D = D C$ ， $A E = 2 E B$ ， $B D$ ， $C E$ 相交于点 $P$ ，若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{b}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{b}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{b}$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作斜率为1的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若线段 $A B$ 的中垂线与 $x$ 轴交于 $P (- \frac{c}{3}, 0)$ （ $c$ 为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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11. 四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ，且 $S A + S D = 8$ ，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A、 $20 π$ B、 $25 π$ C、 $\frac{80}{3} π$ D、 $\frac{76}{3} π$

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12. 函数 $f (x) = x^{2} - ln x + a x \leq 0$ 恰有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{ln 2}{2} - 2 < a \leq - 1$ B、 $- 2 < a \leq - 1$ C、 $- 3 < a \leq - 1$ D、 $\frac{ln 3}{3} - 3 < a \leq \frac{ln 2}{2} - 2$

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二、填空题

13. 若直线 $y = k x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两个交点关于直线 $2 x + y + a = 0$ 对称，则 $a k =$ ．

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14. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $x^{2} - 6 x + y^{2}$ 的最小值为．

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15. 已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 右支上一动点， $Δ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $D$ ，半径 $r \in (0 ， 1]$ ，则 $| F_{1} D |$ 的取值范围为．

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16. 将函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，再向下平移1个单位得到函数 $g (x)$ ，若 $g (x_{1}) g (x_{2}) = 9$ ，且 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 π ， 2 π]$ ，则 $2 x_{1} - x_{2}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 3$ ， $S_{4} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证： $T_{n} < \frac{5}{4}$ .

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18. 已知如图1直角梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，沿 $E C$ 将梯形 $A B C D$ 折起（如图2），使平面 $B E D ⊥$ 平面 $A E C D$ .

(1)、证明 $B E ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、在线段 $C D$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $F A B$ 与平面 $E B C$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ .

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19. $Δ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c^{2} = 3 (a^{2} - b^{2})$ .

(1)、求 $\frac{sin A cos B}{cos A sin B}$ 的值；

(2)、当 $tan C = 3$ ， $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 4 y$ ，过 $x$ 轴上一点 $M$ （不同于原点）的直线 $l$ 与 $E$ 交于两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ 点.

(1)、若 $\overset{⇀}{M A} = λ \overset{⇀}{M C}$ ， $\overset{⇀}{M B} = μ \overset{⇀}{M C}$ ，求 $λ μ$ 的值；

(2)、若 $M (4, 0)$ ，过 $A$ ， $B$ 分别作 $E$ 的切线，两切线交于点 $P$ ，证明：点 $P$ 在定直线方程上，求出此定直线.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - b ln x + b (a > 0)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $(2 e^{2} - 1) x - y + 2 - e^{2} = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、证明： $f (x) > 3 + ln 2$ .

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22. 直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C_{1}$ 的方程为 $y^{2} - 4 x - 4 = 0$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}$ 与 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 8 - | x + a | - | x - b |$ ， $a$ ， $b$ 为实数.

(1)、若 $a = - 1$ ， $b = 2$ ，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为7，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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