山东省淄博市2019届高三理数3月模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2^{x} 〉 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap^{} B =$ （）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $(0, 5]$ C、 $[- 1, 0]$ D、 $[0, 5]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $- 1$ D、1

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$

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4. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 + a_{5} = a_{6} + a_{4}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、72 B、36 C、18 D、9

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5. 已知直线 $l$ 和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l / / α$ ，则 $l ⊥ β$

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6. 在某项测量中，测得变量 $ξ$ $~$ $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ .若 $ξ$ 在 $(0, 2)$ 内取值的概率为0.8，则 $ξ$ 在 $(1, 2)$ 内取值的概率为（）

A、0.2 B、0.1 C、0.8 D、0.4

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7. 一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为 $124 π$ ，则侧视图中的 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ B、9 C、 $3 \sqrt{3}$ D、3

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8. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 $F$ ，若 $Δ A B F$ 的面积为 $4 a^{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知 $M (- 4 ， 0)$ ， $N (0 ， 4)$ ，点 $P (x ， y)$ 的坐标 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ 3 x - 4 y + 12 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $\overset{⇀}{M P} \cdot \overset{⇀}{N P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{25}$ C、 $- \frac{196}{25}$ D、 $- \sqrt{5}$

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10. 已知 $f (x) = {(sin θ)}^{x}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，设 $a = f (\frac{1}{2} {log}_{2} \sqrt{7})$ ， $b = f ({log}_{4} 3)$ ， $c = f ({log}_{16} 5)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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11. 已知直线 $l$ ： $y = - 2 x - m (m > 0)$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 23 = 0$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于不同两点 $M, N$ .若 $| \overset{⇀}{M N} | \leq 2 | \overset{⇀}{C M} + \overset{⇀}{C N} |$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{5}, 5)$ B、 $[2, 5 \sqrt{5} - 3)$ C、 $(5, 5 \sqrt{5})$ D、 $(\sqrt{3}, 2)$

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12. 函数 $f (x) = sin (2 x + θ) + {cos}^{2} x$ ，若 $f (x)$ 最大值为 $G (θ)$ ，最小值为 $g (θ)$ ，则（）

A、 $\exists θ_{0} \in R$ ，使 $G (θ_{0}) + g (θ_{0}) = π$ B、 $\exists θ_{0} \in R$ ，使 $G (θ_{0}) - g (θ_{0}) = π$ C、 $\exists θ_{0} \in R$ ，使 $| G (θ_{0}) \cdot g (θ_{0}) | = π$ D、 $\exists θ_{0} \in R$ ，使 $| \frac{G (θ_{0})}{g (θ_{0})} | = π$

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二、填空题

13. $(x^{2} - 2) {(\frac{1}{x} - 1)}^{5}$ 展开式的常数项是．

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14. 古代埃及数学中发现有一个独特现象：除 $\frac{2}{3}$ 用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如 $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人 $\frac{1}{2}$ ，不够，每人 $\frac{1}{3}$ ，余 $\frac{1}{3}$ ，再将这 $\frac{1}{3}$ 分成5份，每人得 $\frac{1}{15}$ ，这样每人分得 $\frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ .形如 $\frac{2}{2 n + 1} (n = 2, 3, 4 \dots)$ 的分数的分解： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ， $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ， $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，按此规律， $\frac{2}{2 n + 1} =$ $(n = 2, 3, 4 \dots)$ ．

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15. 如图所示，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，且 $A B = B C = 2$ ，则异面直线 $B C_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = x$ 上一点 $M (1, - 1)$ ，点 $A, B$ 是抛物线 $C$ 上的两动点，且 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} = 0$ ，则点 $M$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(2 b - c) cos A = a cos C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 1$ ， $C D = 3$ ， $A P = 2$ ， $D P = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ P A D = 60^{\circ}$ ， $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若直线 $P A ∥$ 平面 $M B D$ ，求此时直线 $B P$ 与平面 $M B D$ 所成角的正弦值.

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19. 已知点 $A, B$ 的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ .三角形 $A B M$ 的两条边 $A M$ ， $B M$ 所在直线的斜率之积是 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设直线 $A M$ 方程为 $x = m y - 2 (m \neq 0)$ ，直线 $l$ 方程为 $x = 2$ ，直线 $A M$ 交 $l$ 于 $P$ ，点 $P$ ， $Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $M Q$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$ .若 $Δ A P D$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，求 $m$ 的值.

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20. 春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在 ${11, 12, \dots, 30}$ 范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在 ${11, 12, \dots, 30}$ 范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为 $x$ 盒，进货量为 $a$ 盒，商店的日利润为 $y$ 元.

(1)、求商店的日利润 $y$ 关于需求量 $x$ 的函数表达式；

(2)、试计算进货量 $a$ 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x^{2} + x + 1)$ .

(1)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 = 4 ρ cos θ - 2 ρ sin θ$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A B$ 的长度为 $2 \sqrt{5}$ ，求直线 $l$ 的普通方程.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x + m |$ ．

(1)、当m＝－3时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、设关于x的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 4 |$ 的解集为M，且 $[- 1, \frac{1}{2}] \subseteq M$ ，求实数m的取值范围.

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