山东省潍坊市2018-2019学年高二数学12月联考试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设a， $b \in R$ ，若 $a > b$ ，则 $($ $)$

A、 $| a | > | b |$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $3^{a} > 3^{b}$

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2. 命题“ $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x \geq 0$ ”的否定是 $($ $)$

A、 $\forall x \notin [0 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x < 0$ B、 $\forall x \notin [0 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x \geq 0$ C、 $\exists x \in [0 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x < 0$ D、 $\exists x \in [0 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x \geq 0$

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3. 抛物线 $x = \frac{1}{4} y^{2}$ 的准线方程是 $($ $)$

A、 $x = - \frac{1}{16}$ B、 $x = \frac{1}{16}$ C、 $x = - 1$ D、 $x = 1$

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 42$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项和 $S_{9}$ 等于 $($ $)$

A、126 B、130 C、147 D、210

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5. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，点P为该椭圆上的任意一点，且 $| F_{1} F_{2} | = 6$ ， $| {PF}_{1} | + | {PF}_{2} | = 10$ ，则椭圆的短轴长为 $($ $)$

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 使不等式 $x^{2} - x - 6 < 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $($ $)$

A、 $- 2 < x < 0$ B、 $- 3 < x < 2$ C、 $- 2 < x < 3$ D、 $- 2 < x < 4$

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7. 已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，焦点坐标为 $(- 4 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ ，则双曲线方程为 $($ $)$

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{24} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{24} = 1$

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8. 若实数m是 $\frac{4}{5}$ 和20的等比中项，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ 的离心率为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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9. 大衍数列来源于 $《$ 乾坤谱 $》$ 中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， $\dots$ ，则该数列第18项为 $($ $)$

A、200 B、162 C、144 D、128

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10. 若两个正实数x，y满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 2$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - m$ 有解，则实数m的取值范围是 $($ $)$

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup^{} (1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup^{} (2 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 6$ ，则 ${log}_{3} x + {log}_{3} y$ 的最大值为．

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12. 已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $M (1, \frac{1}{2})$ 的直线与椭圆相交于P，Q两点，若点M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为．

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13. 在R上定义运算 $a ※ b = (a + 1) b$ ，若对于 $\forall x \in [2, 3]$ ，使得不等式 $(m - x) ※ (m + x) < 4$ 成立，则实数m的取值范围为．

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14. 已知下列命题：
$① G^{2} = ab$ 是a，G，b成等比数列的充要条件； $②$ 函数 $y = \frac{x^{2} + 7}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为4； $③$ 设数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + {na}_{n} = 2^{n} (n \in N*)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{n}$ ； $④$ 已知 $M (- 2, 0)$ ， $N (2, 0)$ ， $| PM | - | PN | = 3$ ，则动点P的轨迹是双曲线的一支．其中正确的命题是 $($ 写序号 $)$ ．

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三、解答题

15. 已知命题p：实数x满足 $(x - 3 a) (x - a) < 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题q：实数x满足 $\frac{x - 9}{x - 2} \leq 0$ ，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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16. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N*)$ 是首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d > 0$ 的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17. 已知点 $P (2, m)$ 在抛物线C： $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 上，F为其焦点，且 $| PF | = 3$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $T (2, 0)$ 的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ 的值．

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18. 为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划在2019年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产 $x ($ 百辆 $)$ ，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{matrix} 10 x^{2} + 200 x, 0 < x < 40, \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 4500, x \geq 40, \end{matrix}$ 该企业确定每辆新能源汽车售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．

(1)、求2019年的利润 $L ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x ($ 百辆 $)$ 的函数关系式 $L (x) ($ 其中利润 $=$ 销售额 $-$ 成本 $)$ ；

(2)、2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 3} (n \in N*)$ ．

(1)、求证： ${\frac{1}{a_{n}} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ ，满足 $b_{n} = \frac{n (3^{n} - 1)}{2^{n}} a_{n}$ ．
$(i)$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

$(i i)$ 若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n}}$ 对一切 $n \in N*$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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20. 如图，设F是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，线段MN为椭圆的长轴，且 $| MN | = 4.$ 已知点 $P (- \frac{a^{2}}{c} ， 0)$ 满足 $| PM | = 2 | MF |$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B．
$(i)$ 求证： $∠ AFM = ∠ BFN$ ；

$(ⅱ)$ 求三角形ABF面积的最大值．

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