山东省临沂市2019届高三理数2月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = i^{3} + \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则z的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{4}{5} i$ C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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2. 已知集合 $M = {x | \frac{2 - x}{1 + x} \geq 0} ， N = {1 ， 3 ， 5} ，则 M \cap^{} (C_{R} N) =$ （）

A、 $(- 1 ， 1) \cup^{} (1 ， 2)$ B、(－1，2) C、 $(- 1 ， 1) \cup^{} (1 ， 2]$ D、 $(- 1 ， 2]$

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3. 已知向量 $a = (2 ， 1) ， b = (1 ， k) ， a ⊥ (2 a - b) ，则 k =$ （）

A、一8 B、一6 C、6 D、8

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4. 把函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，再将图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 B、 $g (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $g (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ D、 $g (x)$ 的图象关于y轴对称

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5. 已知 $x ， y$ 满足约束条件，若 ${\begin{matrix} x - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - m \geq 0 \end{matrix}$ ， $若 z = 3 x - 2 y 的最大值为 4$ ，则 $实数 m 的值为$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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6. 赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)．如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为（）

A、134 B、67 C、200 D、250

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7. 给出下列四个命题：
①命题p： $\forall x > 2 ， x^{2} - 1 > 0 ，则 \neg p ： \exists x_{0} \leq 2 ， x^{2} - 1 \leq 0$ ；② $\int_{- π}^{π} (sin x + 2) d x$ 的值为0；③若 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ 为偶函数，则曲线 $y = f (x) 在点 (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 2 x$ ．④已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， 1) ，若 P (- 1 < ξ < 3) = 0.9544 ，$ 则 $P (ξ < 3) = 0.9772$ ．

其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4．

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8. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、0

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9. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c ， a = 3 ， c = 2 \sqrt{3} ， b sin A =$ $a cos (B + \frac{π}{6}) ，则 b =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆)，则该几何体的体积为（）

A、 $8 - 2 π$ B、 $\frac{8 - π}{2}$ C、 $\frac{8 - π}{3}$ D、 $\frac{8 - 2 π}{3}$

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11. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + ln x 在 (1 ， 3)$ 上不单调的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \in (- \infty ， - \frac{1}{2})$ B、 $a \in (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{6})$ C、 $a \in (\frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$ D、 $a \in (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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12. $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线， $F_{1}$ 关于直线l的对称点为 $F_{1}^{'}$ ，且点 $F_{1}^{'}$ 在以F₂为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知 $sin α + cos α = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ，则 {sin}^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ ．

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14. $(2 x + y) {(x - 2 y)}^{5}$ 展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > \sqrt{2})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 $\frac{1}{4}$ ，则a的值是.

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16. 在 $Δ A B C 中， A = \frac{π}{3}, A B = 10, A C = 6, O 为 Δ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $\overset{⇀}{| O A |} = \overset{⇀}{| O B |} = \overset{⇀}{| O C |}, 设 \overset{⇀}{A O} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C}$ ，则 $m + 3 n$ 的值为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 3$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $2 S_{n} - a_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - a_{n} - 2}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

(1)、求证：AE⊥平面BCE；

(2)、线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

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19. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，△OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 $3 π$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若 $| A B | = 12$ ，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．

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20. 随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元．
该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：

表1：

公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：

表2：

(1)、将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率；

(2)、①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：
②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人?

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21. 已知函数 $f (x) = (a x^{2} - 2 x + a) e^{- x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a \geq 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在 $a \in (- \infty, 0]$ ，使得 $f (x) \geq b ln (x + 1) 在 x \in [0, + \infty)$ 上恒成立，求实数b的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 $(ρ > 0, 0 \leq θ < 2 π)$ ，点A为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足 $| O A | \cdot | O B | = 6$ ，点B的轨迹为 $C_{2}$ ．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设点C的极坐标为(2，0)，求△ABC面积的最小值．

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