江西省上饶市重点中学2019届高三理数六校第一次联考试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 0}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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2. 设 $z = \frac{3 + i}{1 - i} + i$ ，则 $| \bar{z} + i | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、2

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} x, \\ \frac{1}{x^{2}}, \end{matrix}$ $\begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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4. “ $x < 1$ ”是“ $ln (x + 1) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知非零向量 $\overset{⇀}{m} ， \overset{⇀}{n}$ 满足 $| \overset{⇀}{n} | = 2 | \overset{⇀}{m} | ，$ 且 $\overset{⇀}{m} ⊥ (\sqrt{2} \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n})$ ，则向量 $\overset{⇀}{m} ， \overset{⇀}{n}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 函数 $y = \frac{x + a - 1}{x^{2} + 2}$ 为奇函数，则 $\int_{0}^{a} (x^{2} + x) d x =$ （）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）

A、1升 B、 $\frac{67}{66}$ 升 C、 $\frac{47}{44}$ 升 D、 $\frac{37}{33}$ 升

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8. 函数 $f (x) = x cos x - sin x 在 x \in [- 3 π ， 3 π]$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{x + 5 y}{x}$ 的最大值为（）

A、3 B、-1 C、4 D、5

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意整数 $n$ ，总有 $(a_{n + 1} - 1) (1 - a_{n}) = 2 a_{n}$ 成立，则数列 ${a_{n}}$ 的前2018项的和为（）

A、 $588$ B、 $589$ C、 $2018$ D、 $2019$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{| x^{2} - 1 |}{x - 1} + 1 \begin{matrix} ， \end{matrix} x \in [- 2 ， 0] \\ 2 f (x - 2) \begin{matrix} ， \end{matrix} x \in (0 ， + \infty) \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - x - 2 m + 1$ 在区间[－2，4]内有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 ${m | - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}}$ B、 ${m | - 1 < m \leq \frac{1}{2}}$ C、 ${m | - 1 < m < \frac{1}{2} 或 m = 1}$ D、 ${m | - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2} 或 m = 1}$

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12. 已知点O为双曲线C的对称中心，直线 $l_{1}, l_{2}$ 交于点O且相互垂直， $l_{1}$ 与C交于点 $A_{1}, B_{1}$ ， $l_{2}$ 与C交于点 $A_{2}, B_{2}$ ，若使得 $| A_{1} B_{1} | = | A_{2} B_{2} |$ 成立的直线 $l_{1}, l_{2}$ 有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $[\sqrt{2}, 2]$ D、 $(\sqrt{2}, + \infty)$

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二、填空题

13. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为．

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14. 一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为.

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15. 若不等式 ${sin}^{3} x - m + 2 > {cos}^{2} x + sin x$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，则实数 $m$ 取值范围是.

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16. 已知 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, A C = 3, B C = 4$ ，点 $M$ 是线段 $AB$ 上一动点，点 $N$ 是以点 $M$ 为圆心、 $1$ 为半径的圆上一动点，若 $\overset{⇀}{C N} = m \overset{⇀}{C A} + n \overset{⇀}{C B}$ ，则 $m + n$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{A D^{2}}{3 sin B}$ .

(1)、求 $sin ∠ B A D \cdot sin ∠ B D A$ 的值；

(2)、若 $B C = 6 A B, A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $b$ 。

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ A C$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，点 $O$ 为菱形对角线 $A C ， B D$ 的交点，且 $P B = P D$ .

(1)、证明： $P A ⊥ 平面 A B C D$ ；

(2)、若 $A C = A B = P A = 2$ ，问：在棱 $P C$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $A M$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ？

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19. 某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 $(30 ， 150]$ 内，其频率分布直方图如图．

(1)、求获得复赛资格应划定的最低分数线；

(2)、从初赛得分在区间 $(110 ， 150]$ 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间 $(110 ， 130]$ 与 $(130 ， 150]$ 各抽取多少人？

(3)、从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设 $X$ 表示得分在 $(110 ， 130]$ 中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在 $(110 ， 130]$ 给予500元奖励，若该生分数在 $(130 ， 150]$ 给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点在 $x$ 轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为 $2$ 的等腰直角三角形.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、动直线 $l : 3 m x + 3 n y + n = 0 (m \in R, n \in R, m, n 不全为零)$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 $Q$ ，使得以线段 $AB$ 为直径的圆恒过点 $Q$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

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21. 已知函数 $f (x) = a x - ln (2 x + 1) ， g (x) = e^{x} - x - 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在原点处的切线相同。

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若 $x \geq 0$ 时， $g (x) \geq k f (x)$ ，求 $k$ 的取值范围。

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t \in R, t 为参数)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设 $P$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，求点 $P$ 到 $C_{2}$ 上点的距离的最小值，并求此时点 $P$ 的坐标。

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 1$ . $g (x) = | 2 x - 1 | + | 1 + x | + 2$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3 x$ 的解集；

(2)、若存在 $x$ 使不等式 $2 f (x) - g (x) < a | x |$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

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